Riemann yüzeyleriüzerindeki geometrik yapılar ve Reidemeister torsiyon

Σ cinsi en az 2 olan kapalı yönlendirilebilir bir yüzey ve G bir Lie grubu olmak üzere Rep(Σ,G) yüzeyin temel grubundan G grubuna giden homomorfizmaların eşlenik sınıflarından oluşan temsil uzayının pürüzsüz kısmını göstersin. Bu tezde reel ve kompleks olmak üzere iki farklı kategorideki geometrik yapılara karşılık gelen temsillerin Reidemeister torsiyonunun ilgili simplektik formlar aracılığıyla hesaplanabileceği formüller açık bir şekilde ifade edilmiştir. Bu tez iki ana bölümden oluşmaktadır: İlk bölümde reel projektif yapılar ele alınmıştır. Yüzey üzerindeki konveks reel projektif yapıların deformasyon uzayı B(Σ) üzerinde literatürdeki Goldman koordinatları bulunmaktadır ve ayrıca bu uzay Teichmüller uzayını da kapsamaktadır. H.C. Kim bu koordinatları kullanarak Rep(PSL(3,R)) temsil uzayı üzerindeki ω_PSL(3,R) Atiyah-Bott-Goldman simplektik formunu açık bir şekilde ifade etmiştir. Bu bölümde tüm bu bilgilerin ışığında, Rep(PSL(3,R)) temsillerinin Reidemeister torsiyonunu hesaplayan formül ω_PSL(3,R) simplektik formu aracılığıyla elde edilmiştir. İkinci bölümde ise kompleks projektif yapılar düşünülmüştür. Yüzeydeki kompleks projektif yapıların izotopi sınıfları uzayı CP(Σ) dan Teichmüller uzayına giden doğal örten bir izdüşüm fonksiyonu bulunmaktadır. Bu izdüşümün herhangi bir s pürüzsüz kesiti yardımıyla CP(Σ) ve T^*Teich(Σ) kotanjant demeti uzayları difeomorfiktir. Rep(PSL(2,C)) içinde açık olan CP(Σ) üzerinde ω_PSL(2,C) ve T^*Teich(Σ) uzayı üzerinde ise ω_nat simplektik formları bulunmaktadır. Bu bölümde, bahsedilen s kesiti sırasıyla Bers, Schottky, Earle ve Fuchsian kesiti alınarak, CP(Σ) uzayına karşılık gelen temsillerin Reidemeister torsiyonu ω_nat ve ω_PSL(2,C) simplektik formları cinsinden ifade edilmiştir. Bunlara ek olarak, elde edilen sonuçlar sınırı cinsi en az 2 olan kapalı yüzeylerden oluşan 3-manifoldlara uygulanmıştır.