Grupoidler üzerinde çaprazlanmış ve kuadratik modüllerin yüksek boyutlu temsilleri

Kategorileştirme, matematiksel bir objenin daha zengin ve genellikle daha derin yapısal özelliklerini ortaya çıkaran başka bir kategoriksel yapıyla değiştirildiği bir tür yapısal yöntemdir. Bu motivasyon ile tez çalışmasındaki amacımız, topolojiksel data ile ilişkilendirilen cebirsel homotopi tip modellerin yüksek boyutlu kategoriksel temsil teorisini inşa etmektir. Öncelikle, bu temsil yapısını inşa ederken grupoidler üzerindeki çaprazlanmış modül yapısı detaylı incelenecektir. Bir çaprazlanmış modülden, birden fazla objeye sahip katı bir 2-grupoid yapısı inşa edilecektir. Daha sonra, detaylı bir şekilde grupoidlerin üzerindeki kuadratik modül kavramı tanımlanacak ve neden katı bir 3-grupoid yapısı oluşturmadığı incelenecektir. Grupoidler üzerindeki kuadratik modülden inşa edilen 3-kategoriksel yapıdan (sestertius grupoidinden) bir Gray grupoidi elde edilecektir. Ek olarak, grupoidler üzerindeki kuadratik modülün bir katı kübiksel trigrupoid olduğu gösterilecektir. Son olarak K-vektör uzaylarının sırasıyla uzunluğu 1 ve 2 olan zincir komplekslerinin kategorileri incelenecektir ve bu yapılar ile grupoidler üzerindeki çaprazlanmış modülün 2-lineer temsili ve grupoidler üzerindeki kuadratik modülün 3-lineer temsili inşa edilecektir.