Kuantum telenakil protokollerinin hiyerarşik ilişkisi

Dolanık durumlar, kuantum telenaklin kaynağıdır. Bu çalışmada öncelikle iki, üç ve dört seviyeli sistemlerin en genel durumlarının telenakil protokolleri çalışılmıştır. Ardından yüksek seviye protokolü ile düşük seviyeli durum gönderilerek hiyerarşik ilişkiye bakılmıştır. Telenakiller iki yöntemle anlatılmıştır: belirli seviye için yazılmış, genelleştirilmiş Bell baz setine izdüşümsel ölçüm yöntemi ve kuantum devre modeli adı altında kapı dizisi uygulayarak telenakletme yöntemi. Gönderici ve alıcı (Alice ve Bob), dolanık bir durumu kanal olarak kullanırlar. Kanalın iki ucunun da boyutu, en az 'gönderilecek' durumun boyutu kadar olmalıdır. Gönderilecek (bilinmeyen) durum ve kanal aynı tür parçacıklardan oluşuyorsa, n sayıda gönderilecek parçacık için 2n sayıda parçacıktan oluşan kanal gerekmektedir. İki kübitin maksimum dolanıklığa sahip olduğu ortonormal uzayı geren dört adet Bell bazı vardır. Kübit telenaklinin ilk yöntemle yapılmasında bir Bell bazı kullanılmıştır. Gönderici, bilinmeyen durum ile kendi dolanık kübitine, Bell baz setinde ölçüm yapmıştır. İki kübit, dört dolaşık durumdan herhangi birine eşit olasılıkla düşme ihtimaline sahiptir. İzdüşebilecekleri her duruma karşılık, Bob'un kübitinin alabileceği farklı haller vardır. İzdüşülen durum, Alice tarafından klasik bir kanalla (örneğin telefonla) Bob'a bildirilir. Bob, kendi kübitinin aldığı hali artık bilerek 'kurtarma işlemi' (recovery operation) uygular. Kurtarma işlemi, üniter dönüşümdür; işlem sonucunda orijinal, gönderilmek istenen durum elde edilir. Telenakil tamamlanmıştır. Kübitin ikinci yöntemle gönderilmesinde bir dizi kapı (üniter kübit operasyonları) uygulamak, ölçüm ve kurtarma işlemi vardır. Bilinmeyen kübite 1 nolu, Alice'in dolanık kübitine 2 nolu kübit diyelim. 1. kübit, olası durumların herhangi bir süperpozisyonu olarak yazılır ($a\ket{0}+b\ket{1}$). Süperpozisyondaki hallere bağlı olarak (yani kontrollü şekilde) Alice 2. kübite X (flip operasyonu) uygular veya uygulamaz. Uygulama ve uygulamama aynı anda gerçekleştiği için farklı senaryolar, hesaplama işleminde var olur (paralellik). Bu kontrollü-X (CNOT) işleminin ardından 1. kübite Hadamard (H) kapısı uygulanır. H'nin görevi, paralel iki işlem hattında Alice tarafında iki-kübit hesapsal baz setinin (computational basis set) ($\ket{00}, \ket{01}, \ket{10}, \ket{11}$) tüm bazlarını oluşturmaktır. Alice tarafındaki her baza karşılık 3. kübitin aldığı haller (ara durumlar) vardır. Alice tarafında tüm baz setinin oluşması, ölçüldüklerinde 3.kübite firesiz şekilde bilgi aktarımı anlamına gelir. Ölçüm sayesinde $a$ ve $b$ katsayıları 3. kübite aktarılır. Alice ölçüm sonucunu Bob'a ileterek kurtarma işlemini yaptırır ve 3.kübit üstünde gönderilmek istenen orijinal durum elde edilir. Kütrit telenakli, ilk yöntemde kanal olarak (2. ve 3. kütrit için) iki-kütrit genelleştirilmiş Bell baz setinin bir bazı alınıp 1. ve 2. kütritin bu baz setine izdüşürülmesi ile ve ölçüm sonucuna göre 3. kütrit üstünde kurtarma işlemi yapılmasıyla olur. Genelleştirilmiş Bell bazları tanım gereği maksimum dolanıklığa sahip olması gerektiğinden ve kuantum Fourier dönüşümü (QFT), her iki bileşeni arasındaki faz farkı aynı olan bileşenlerden oluşan ve bileşenlerin eşit ağırlığa sahip olduğu bazlar oluşturduğundan, bir benzerlik dönüşümü olan QFT, iki-kübit genelleştirilmiş Bell bazlarının yaratımında kullanılabilir. Kütrit telenaklinin devresi, tespit edildiği üzere kübit devresiyle aynı olup CNOT ve Hadamard ifadeleri yenilenmiştir. X yerine kütrit çevrimsel (cyclic) permutasyon operatörü, H yerine kütritin QFT'si konulmuştur. Hiyerarşik ilişkiyi gözlemek için kütritin iki seviyeli bir alt uzayına bakalım. Kütritin iki farklı özdeğerli durumu, ilgili ölçüm sonucunda ayırt edilemez. Kolaylık olması için dejenere bazların kütrit içindeki genliklerini eşit alalım ($a\ket{0}+b\ket{1}+a\ket{2}$). Bu efektif kübit, kütrit telenaklinin dolanık bazlarda ölçüm metoduna konulduğunda standart/gerçek kübit telenakil ölçüm sonuçlarını, kurtarma kapılarını içeriyor mu, ilişkisi nedir bakıyoruz. Görünen o ki (kurtarma operasyonuna ihtiyaç duyulmayan durum haricinde) ortaklık yok. Kübit gönderimi ekonomik olmaz. Çünkü standart telenakildeki 4 farklı ara durum yerine 9 ara durum ve kapı ile çalışacağız demektir. Fazladan işlemlerin olmaması ve kütrit üzerinden kübit gönderiminde 4 ara durum ve 2 kapıyla çalışabilmemiz için protokolün yenilenmesi gerekir. Ayrıca 9'un 4'ü standart kübit telenakli ölçüm sonuçlarına ve kapılarına izomorfik değildir, dolayısıyla kütrit-kübit geçişinde hiyerarşik ilişki yoktur. Bir de efektif kübit gönderimi için protokol nasıl olmalı diye çalıştık. Efektif kübit gönderimini devre modeliyle yaptık. Öncelikle baz seti olarak $\{\ket{0}$, $\ket{1}$, $\ket{2}\}$ yerine $\{\frac{\ket{0}+\ket{2}}{\sqrt{2}}$, $\ket{1}\}\equiv\{\ket{\tilde{0}},\ket{\tilde{1}}\}$'i aldık. Örneğin X kapısının yapması gereken, $\ket{\tilde{0}}$ ve $\ket{\tilde{1}}$ arasında geçişi sağlamaktır. H ve Z'nin görevi de belirlidir. Kapıların üniter olması zorunludur. Nasıl dönüşüm yapacakları iki boyut üzerinde tanımlı olduğu için kapıların yazımında bir serbestlik vardır. Sonsuz sayıda, aynı işi yapan kapı üretilebilir. Ancak kübit kapılarına benzer olarak hermitik alındığında tek ifadeleri olur. Bu antisimetrik alt uzayı $(\frac{\ket{0}-\ket{2}}{\sqrt{2}})$ değişmez bırakır. Hermitiklik, üçüncü boyutun dönüşümünü tanımlamıştır. Kübit devresinde bu yeni kapılar çalıştırılır. İki kübitten oluşan dört seviyeli sistem telenakli için ilk yöntemde dört-kübit genelleştirilmiş Bell bazları kullanılmıştır. Bu 16 boyutlu uzay, (iki-kübit) Bell bazlarının direk çarpımında ikinci ve üçüncü kübitlerin yer değiştirmesi ile oluşmaktadır: $$\ket{\psi_0}_{1234}=\ket{\beta_{ij}}_{12}\otimes \ket{\beta_{kl}}_{34} \rightarrow P_{23} \ket{\psi_0}_{1234}=\ket{\psi_1}_{1324}$$ Permutasyon, dört kübiti dolanık hale getirip ilk ikisini Alice'in, son ikisini Bob'un alarak kuantum kanal olarak kullanmalarına olanak vermiştir. 16 adet ara durum, temelde 2 kapının ($X$, $Z$) kullanılmasıyla kurtarılabilir. 1. ve 2. parçacığın ayırt edilebilir olması gerekir, iki-kübit uzayında 16 farklı kapı kullanılır. İkinci yöntemle gönderim devresi de çizilmiştir. Dört seviyeli sistemin üç seviyeli alt uzayı belirli bir simetriyle tanımlanmıştır: yer değiştirme simetrisi. Bu protokol efektif kütrit telenakli için uygulandığında telenakil sonucunda başladığımız kütrit alt uzayından çıkılmıştır, kütrit protokolüyle ortaklık yoktur. Dört seviyeli sistemin iki seviyeli bir alt uzayına ulaşmak için yer değiştirme simetrisine, flip simetrisi eklenmiştir. Telenakil sonucunda görülmüştür ki aynı ara durumdan 2 adet vardır, yani 8 farklı ölçüm sonucu vardır. 8 ölçüm sonucunun 4'ü standart telenakille örtüşmektedir. Yani bu telenaklin bir alt uzayı standart telenakli kapsamaktadır. Diğer 4 ara durum, bu alt uzayın dışında bulunan durumlardır. Bir de bu iki seviyeli sistemin efektif gönderimi için kapılar ve devre yazılmıştır. Genel olarak düşük seviyeli protokoller yüksek seviyelilerin indirgenmesinden elde edilmemektedir. Dört seviyeli sistemden üçe, üçten ikiye geçişte hiyerarşik ilişki yoktur. Dörtten ikiye geçiş, iki seviyeli protokolü bir alt grubu olarak içermektedir. Ancak genele dair hiyerarşik ilişki olup olmadığıyla ilgili bir sonuca varmak için daha yüksek seviye geçişleri de incelenmelidir. Hiyerarşik ilişki, aralarında asal seviye geçişlerinde görülmüyor olabilir. Ayrıca gerçek boyut üzerinden efektif boyutun, varyasyonlar olmadan (alt uzayın dışına çıkılmadan) gönderimi için yeni protokol ve kapılar oluşturulmalıdır. Her duruma has protokol yazılmalıdır.