Evolution of the hofstadter butterfly in a tunable optical lattice

Kuantum mekaniksel sistemlerde sınırlı sayıda analitik çözüm vardır. Bu çözümler karmaşık sistemlerin yaklaşık çözümleri için önemlidir. Çözülmemiş denklemlemlerinden biri de ünlü Harper denklemidir. Harper denklemi, 2 boyutlu periyodik potansiyel altındaki parçaçığın sabit manyetik alan altında davranışını inceler. İlk tam nümerik çözümü Douglas Hofstader elde etmiştir. Manyetik ˙ kuantum akışın fonksiyonu olan enerji spekturumu, karmaşık fraktal bir yapı göstermektedir. Bu spekturum Hofstader kelebeğidir ve sadece örgü geometrisine bağlıdır. Diğer bir deyişle, sabit bir manyetik alan altında fraktal enerji spekturumunu, pirimitif örgü vektörleri ve unite vektörleri belirler. Katı hal fiziğinde, birim hücresinin alanı bir kaç nanometre kare ölçeğinde olduğundan, bu enerji spekturumlarını deneysel olarak gözlemlemek binlerce Tesla büyüklüğünde manyetik alan gerektirmektedir. Son zamanlarda soğuk atom fiziğindeki iki ana gelişme, Hofstadter kelebeğinin gerçekleştirilmesinin yolunu açtı. Birincisi, optikörgülerin yaratılması ve değiştirilebilmesidir. Bu gelişme örgü sabitini bir kaç nanometreden bir kaç yüz nanometreye kadar kontrol edilebilen alan yaratmayı sağlar ve enerji spekturumunu gözlemlemek için gerekli manyetik alan günümüz deneylerinin ulaşabildiği seviyelere iner. Ikinci gelişme, sentetik ayar alanlarının optik ağ örgülerinde gerçellenmesidir. Bu tezde odaklandığımız bir gelişme ise ayarlanabilir optik ağ geometrilerinin yaratılmasıdır[L.Tarruell et al., Nature 483, 302305 (2012)]. Sabit manyetik alanlardaki eş-benzer enerji spekturumu sadece ağ geometrisine bağlıdır ve Zürih araştırma grubu bu bağlantıyı incelemek için bir fırsat sunmuştur. Hofstadter kelebeğini, Zürih grubu tarafından elde edilebilen tüm ağ parametreleri için özel olarak hesapladık[3]. Sonrasında dama örgüden bal peteği örgüsüne geçişte Hofstadter kelebeğinin değişimini inceledik ki bu topolojik sabit Chern sayılarının eş-benzer enerji spekturumlarındaki değişimlerini de içerir. Bu amaçla, ilk olarak araştırma sürecinde faydalandığımız teorik yapıtaşlarını sunduk. Sürekli Hamiltonian ve sıkı-bağlı Hamiltonian'dan başlayıp basamak basamak Hofstadter kelebeği elde etme sürecini anlattık. Açık olarak kare örgü ve pal peteği örgüsü için kelebekleriürettik. Sonrasında Zürih grubunca yapılan deneye yoğunlaştık ve tüm ağ parametreleri için Hofstadter kelebeğini elde ettik. Bu Hofstadter kelebekleri detaylıca incelendi. Uç farklı bölge bulundu. Birinci bölgede spekturum, iki kare örgü Hofstadter kelebeğinin aralarında geniş bir enerji boşluğu olacak şekildeüstüste halinden oluşur. Optik ağ dama geometrisinden pal peteği geometrisine evrilirken Dirac noktalarının manyetik akının rasyonel değerlerinde ortaya çıkmasıyla ikinci bölge başlar. Uçüncü bölge, sıfır enerji seviyesi etrafındaki komşu bantlar başta olmaküzere sonsuz sayıdaki bantın birbiriüzerine kapanmasıyla pal peteği ağının Hofstadter kelebeğine yakınsamasıyla ulaşılır. Bu kapanma süreci günümüz deney aletleriyle aranabilir. Gösterdik ki manyetik alansız ortamda Dirac noktalarının varlığı sonlu manyetik alanlarda aynı Dirac noktalarının varlığını garanti etmez. Enerji spekturumunun topolojik özellikleri uygulanan manyetik alanla değişebilir. Spekturumdaki ana enerji boşluklarının Chern sayılarını hesapladık ve bu sayıların ağ geometrisinin değişim sürecinde değiş tokuşunu ve iletimini analiz ettik. Denklem 5.2'de görüldüğü gibi, bu süreçte sıfır enerji etrafında ortaya çıkan Dirac noktalarının kritik bir değere göre belirlendiği bir analitik formül belirledik.