BCS-BEC crossover with model square well interaction in 2D and 3D

Son yüz yıl içerisinde fiziğin bir çok alanında farklı fenomenlerle karşılaştık. Bunların en göz alıcı olanlarından biri de süperiletkenlik olayıdır. Hollandalı fizikçi Heike Kamerlingh Onnes 1908 yılında Helyum gazını sıvı hale dönüştürmeyi başardı. Bu başarı $4,2$ K'e kadar olan düşük sıcaklıklardaki fiziksel olayların özelliklerinin araştırılmasını mümkün hale getirdi. Metallerin elektriksel dirençlerinin bu düşük sıcaklık bölgelerindeki değişimi yine ilk defa Onnes tarafından incelendi. Onnes, sıvı Helyum'un keşfinden 3 yıl sonra, civa metalinde doğru akım elektriksel direncin kritik sıcaklık $T_c$ diye adlandırdığı sıcaklık ve altındaki sıcaklıklarda ölçülemeyecek kadar küçük bir değere düştüğünü gözlemledi. Bu heyecan verici gözlem süperiletkenliğin keşfi olarak bilinmektedir. Bu çalışmadan dolayı Kamerling Onnes 1913 yılında Nobel Fizik ödülünü kazandı. O yıllarda kuantum kuramı daha oluşmamıştı. Bu yüzden süperiletkenliğin arkasındaki mekanizma anlaşılamamıştı ve süperiletkenliğin mikroskopik teorisi yaklaşık elli yıl sonra oluşturuldu. Genel olarak doğada fermiyonlar ve bozonlar olmak üzere iki tip temel parçacık vardır. Bozonlar spini tam sayı olan parçacıklardır. Dalga fonksiyonları herhangi iki bosonun yerdeğiştirmesi durumda simetrik kalır ve bozonlar Bose-Einstein istatisiğine uyarlar. Bozonlar belli bir kritik sıcaklığın altında en düşük enerjili seviyede Bose-Einstein yoğuşması (BEY) gösterebilirler ve bu limitte tek bir "dev" dalga fonksiyonu ile temsil edilebilirler. Öte yandan fermiyonlar spini buçuklu olan parçacıklardır ve Fermi-Dirac istatistiğine uyarlar. Fermiyonların dalga fonksiyonları ise anti-simetriktir. Başka bir deyişle iki fermiyonun yer değiştirmesi durumunda dalga fonksiyonu işaret değiştirir. Bu sebepten fermiyonlar Pauli dışarlama ilkesine uyarlar, yani bütün kuantum mekaniksel özellikleri aynı olan iki fermiyon aynı enerji seviyesinde bulunamazlar. Hem bozonik hem de fermiyonik sistemler süperiletkenlik veya süperakışkanlık gösterebilir. Fermiyonik süperakışkanlık nötron yıldızlarında, nükleer maddelerde, ve aşırı soğuk gazlarda görülmektedir. Helium-4'de bozonik süperakışkanlık gözlemlendikten sonra Alman fizikçi Fritz Wolfgang London BEC ile süperakışkanlığın arasında bir bağlantı olduğunu öne sürdü. Daha sonra akıllara femiyonik sistemlerde fermiyonların Pauli dışarlama ilkesini çiğnemeden nasıl en düşük enerjili seviyeye yoğuştuğu sorusu düşünülmeye başlandı. Fizikçiler sıkı bağlı elektron çiftlerinin bozonlar olarak düşünülebileceği ve böylelikle sistemin taban durumuna çökebilceğini hayal ettiler. Ancak, iki elektronun arasında çekici bir etkileşim bilinmiyordu. 1950'de bir kristalin içerisinde örgü titreşimlerinden dolayı elektronlar arasında efektif bir çekici etkileşim (elektron-fonon etkileşimi aracılığı ile) olduğu bulundu. Daha sonra 1956'da Leon Cooper elektron çifti problemini çözerek Fermi yüzeyinin üzerinde iki fermiyonun çekici bir etkileşimle bozonumusu yapılar oluşturabileceğini gösterdi. Bu bozonumsu yapılara "Cooper çifti" adı verilir. Ancak tek bir Cooper çifti fermiyonik süperakışkanlığı açıklayamaz. Cooper'ın çalışmalarından bir yıl sonra John Bardeen, Leon Cooper ve Robert Schrieffer (BCS) üçlüsü, süperiletkenliğin mikroskopik teorisini tasvir ettikleri bir makale yayınladılar. Bu ünlü teori BCS teorisi olarak bilinir ve çok parçacıklı bir sistemin dalga foksiyonunun, üst üste binmiş sıfır kütle merkezi mometumuna, sıfır açısal momentuma (s-dalgası) ve sıfır spine sahip fermiyon çiftlerine karşılık geldiğini ileri sürer. BCS teorisinde parçacıklar arasındaki etkileşim zayıf ve çiftlerin boyutu parçacıklar arası ortalama mesafeden çok fazladır. 1986 yılında yüksek sıcaklık (100 K üzeri) süperiletkenliği gündeme geldi ve daha sonra bilim insanlarının en önemli amaçlardan biri oda sıcaklığında süperiletkenlik bulmak oldu. Ancak görüldü ki; yüksek sıcaklık süper iletkenlerinde Cooper çiftleri parçacıklar arası mesafeye göre çok küçükler. Bu yüzden BCS teorisi fermiyonların sıkıca bağlı olduğu ve güçlüce etkileşip Bose-Einstein yoğuşması gerçekleştirdiği bölgeyi de içerecek şekilde genelleştirilmek zorundaydı. Dolayısıyla bu teorinin bir limitinde BCS diğer limitinde BEY durumu olmalıydı. BCS-BEY geçişini ilk çalışan kişilerden biri olan Anthony Legett; etkileşim zayıf olduğu durumda BCS türü bir süperiletken ve güçlü olduğu durumda BEC türü süperiletken ortaya çıktığını gösterdi. BCS teorisinin aksine, BCS-BEY geçişinde bütün fermiyonlar Cooper çiftleri oluşturabilirler. Etkileşimi arttıkça fermiyonlar zayıfça bağlı Cooper çiftlerinin olduğu BCS limitinden güçlü etkileşime sahip çiflerin olduğu limite (BEY) geçerler. Bugün deneysel olarak bu yapılmaktadır. Atomik BEY deneysel olarak ilk defa Eric Cornell ve Carl Wieman tarafından 1995 yılında gerçekleştirilmiştir. Rubidium atomlarını lazerle soğutma ve buharlaştırma tekniklerini kullanarak nano-Kelvin mertebesinde sıcaklıklara kadar soğutmayı başardılar. Bu başarıdan sonra, aşırı soğuk gaz üzerine yapılan çalışmalarda ani bir artış yaşandı. Helium-4 gibi yoğun ve güçlü etkileşen bir sistem yerine daha basit bir sistemle uğraşmak zekice bir fikirdi. Aşırı soğuk gazlar seyrektirler ve bu yüzden 3-cisim çarpışmaları ele alınmaz. Aşırı soğuk gazların yoğunlukları düşük olduğu için kritik sıcaklıkları da çok düşüktür. Aşırı soğuk gazlar fiziksel niceklikleri deneysel olarak kontrol edebilmemizi sağladıkları için, maddenin yeni fazlarını incelemek açısından oldukça uygun ortamlardır. Atomik sistemler Feshbach rezonansı ile atomlar arasındaki etkileşimi ayarlayabilme avantajına sahiptirler. Böylelikle bütün BCS-BEY geçişi deneysel olarak incelenebilir. Ayrıca bu sistemlerin yoğunluğu da kontrol edilebilmektedir. Bu yüzden, aşırı soğuk atomlar üzerine araştırmalar yaklaşık 20 yıldır çok ilgi çekmektedir. Fizikçiler bu tür sistemlerin yeni fazlarını bulmaya çalışıyorlar. 2003 yılında, üç farklı deney grubu sıkı bağlı fermiyonların Bose-Einstein yoğuşmasını keşfetti ve nihayet 2004 yılında MIT' da aşırı soğuk gazlarda vortekslerin gözlemlenmesiye fermiyonik süperakışkanlık da gözlemlenmiş oldu. İlk çalışmaların çoğunluğu "spin-yukarı" ve "spin-aşağı" olarak adlandırılan atomların sayısının eşit olduğu "dengeli" Fermi gazına yönelik oldu. Dengeli Fermi gazında etkileşimi arttırdıkça BCS durumundan BEC durumuna faz değişiminden (phase transition) ziyade bir geçiş (crossover) vardır. İki limitin arasında etkileşimin en yüksek olduğu noktaya "teklik" (unitarity) denir. Sistem tam üniterlik anında sadece tek bir uzunluk ifadesiyle (etkileşim mesafesi) anlatılabilir. Sistem bütün bu geçiş süreci boyunca süperakışkandır. Bu sonuç deneylerle de gözlemlenmiştir. RF (radyo frekansı) dalgaları dengeli olmayan Fermi gazı sistemleri oluşturmak için kullanılır. Bu tür gazlarda BCS-BEY evriminin bir geçiş (crossover) olmadığı ve maddenin yeni fazlarının olduğu bulundu. Bu fazlar; normal faz, faz ayrımı ve süperiletken faz bazı deneylerde gözlemlendi. Optik örgülerin varlığında fermiyonik sistemler, üç inceyapı durumlu fermiyonik karışımlar ve tuzaklanmış fermiyonik karışımlar fazlaca ilgi görmüş çalışma alanlarıdır. Bu fermiyonik karışımlar farklı titreşim frekansınlarında harmonik potansiyeller ile tuzaklandığında dengeli olmayan durumlar için yeni fazların oluştuğu gözlemlendi. Üç farklı aşırı ince durumlu fermiyon karışımı ilginç sonuçlar doğurabilir. Nötron yıldızlarının merkezindeki quarklardaki duruma benzer üç farklı Cooper çiftleri olabilir. Bu tezde ilk olarak Cooper probleminden ve bazı süperiletkenlerin mikroskopik özelliklerini tasvir eden ünlü BCS teorisinden bahsettik. Daha sonra sistemin Gibbs serbest enerjisini varyasyonel yöntem kullanarak minimize ettik ve öz tutarlı denklemleri oluşturduk. Bir sonraki adımda ortalama alan teorisi yaklaşımıyla bu denklem setini farklı etkileşimlerde öz tutarlı bir şekilde $3$ boyutlu femiyon gazı için çözdük. Daha sonra elde ettiğimiz sonuçları grafiğe dökerek BCS-BEY geçisi esnasında momentum dağılımının, süperiletken düzen parametresinin, sistemin uyarılma enerjilerinin, parçacık başına enerjinin ve kimyasal potansiyelin etkileşim arttıkça nasıl değiştiğini inceledik. BCS limitinde düzen parametresi sıfır iken, BEY limitine yaklaştıkça düzen parametresi giderek arttığını gözlemledik. Öte yandan, BCS limitinde kimyasal potasiyel Fermi enerjisine eşittir, ancak etkileşim arttıkça giderek azalmaya başlar. Etkileşim yeterince arttırıldığı zaman kimyasal potasiyelin ve parçacık başına enerjinin bağlanma enerjisinin yarısına yaklaştığı gördük. Bir sonraki bölümde 2 boyutta BCS-BEY geçişini inceledik. İki boyutta geçiş sürecinin, çok daha zayıf etkileşim şiddetinde gerçekleştiğini saptadık. Benzer şekilde quasi-2D (z-yönünde sonlu ince bir kalınlığı olan) sistem için tüm bu süreci tekrar ettik. Kalınlığı yeterince küçük alındığı zaman sonuçların iki boyutlu sistem için olan sonuçlarla tutarlı olduğunu gösterdik. Benzer şekilde kalınlığı fazla seçtiğimiz sonuçların üç boyutlu sistemin sonuçlarına yaklaştığını saptadık.