Iteratif diferansiyel quadrature metodu ile bazı mühendislik problemlerinin çözülmesi

Diferansiyel Quadrature Metodu (DQM) ilk defa Bellman vd. (1971) tarafından geliştirilmiştir. Shu ve Richards (1990) DQM'i genelleştiren bir algoritma oluşturarak Genelleştirilmiş DQM'i (GDQM) ortaya koymuştur. Bu tez çalışmasında GDQM Newton-Rapshon İterasyon Metodu ile birlikte kullanılarak çeşitli mühendislik problemlerinin çözümü gerçekleştirilmiştir. İteratif DQM (I-DQM) olarak isimlendirilen bu algoritma sayeside klasik DQM yaklaşımından farklı olarak aynı noktada çoklu sınır şartı için çözüm doğrudan şartın olduğu noktada başka herhangi bir ek prosedüre gerek kalmadan uygulanabilmiştir. Lineer ve Lineer Olmayan Adi Diferansiyel Denklemlerin (ADD) çözümlerinde I-DQM kullanılarak sayısal simülasyonlar gerçekleştirilmiştir. Elde edilen sonuçlar geliştirilen çözüm algoritmasının ADD problemleri için oldukça başarılı olduğunu göstermiştir. Mekanik alanında çözülmesi zor ve önemli olan Kirişlerin Büyük Sehim Problemi lineer olmayan bir ADD kullanılarak tanımlanmaktadır. Yöntemin hassasiyetini daha güvenilir bir şekilde test etmek amacıyla Büyük Sehim Problemi I-DQM algoritması ile çözülmüştür. I-DQM'in hassasiyetini karşılaştırmak amacıyla aynı problem Birleşim Metodu (BM) kullanılarak ayrıca ele alınmıştır. Sayısal sonuçlar önceki çalışmalarla ve BM ile karşılaştırıldığında I-DQM kullanılarak Büyük Sehim Probleminin kolaylıkla yüksek hassasiyetle çözülebildiği görülmüştür. Mühendislik problemlerinin tanımlanmasında yaygın olarak lineer olmayan Kısmi Diferansiyel Denklemler (KDD) kullanılmaktadır. Bu nedenle I-DQM kullanılarak lineer ve lineer olmayan çeşitli KDD problemlerinin çözümleri sağlanmıştır. Sonuçlar incelendiğinde klasik DQM'e göre daha kolay bir yaklaşımla yüksek hassasiyetle çözümlerin elde edildiği görülmüştür. Yöntemin hassasiyetinin incelenmesi amacıyla literatürde metot testlerinde yaygın olarak kullanılan Burgers Denklemi I-DQM ile çözülmüştür. Yapılan ilk sayısal analizlerde Newton-Raphson İterasyon'un başlangıç tahminleri klasik yaklaşımla rastgele seçilmiştir. Bilindiği gibi iteratif yöntemlerde başlangıç tahmini değeri sonuca yakınsama hızı ve hassasiyetinde oldukça önemlidir. Bu bilgiden yola çıkılarak ele alınan problemin sınır şartları kullanılıp bir eğri uydurma yapılmış ve başlangıç tahmini olarak bu eğri fonksiyonu dikkate alınmıştır. Geliştirilen bu yeni yaklaşıma I-DQM için Eğri Uydurma Başlangıç Tahmini (EUBT) adı verilmiştir. EUBT kullanılarak gerçekleştirilen Burgers Denklemi çözümlerinde dt=0,01 adımla hızıyla 7 iterasyonda yeterli hassasiyette sonuçlar elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar Burgers Denkleminin literatürdeki diğer çözümleriyle karşılaştırılmıştır. EUBT kullanılarak yapılan I-DQM analizinde literatürde ilk defa bir DQM algoritmasıyla dt=0,01 adımlama hızında Burgers Denkleminin yeterli hassasiyette çözülebildiği görülmüştür. Bunlara ek olarak GDQM yaklaşımının aynı noktaya çoklu sınır şartı girilmesi gereken problemlerdeki hassasiyetini daha iyi değerlendirmek amacıyla lineer kiriş titreşim problemi farklı sınır şartları için ele alınmıştır. Elde edilen sonuçların karşılaştırılması için aynı problem Rayleigh-Ritz Metodu kullanılarak ayrıca çözülmüştür. Her iki yöntemin sonuçları literatürdeki diğer çalışmaların sonuçlarıyla karşılaştırılmış ve DQM'in oldukça yüksek bir hassasiyette çözüm sağladığı görülmüştür.