Kesirli türev ve integral operatörlerinin analizi ve yeni uygulamaları

Kesirli analiz, tam sayı mertebeli analizden farklı olarak içerisinde çeşitli türev ve integral tanımları barındırmaktadır. Bu sebeple, her bir tanımın kendine has bazı özelliklerinin de var olduğu düşünülürse, bir anlam kargaşası ve kullanım zorluğu ortaya çıkabilmektedir. Son birkaç on yılda kesirli analizin bir çok farklı bilim dalında sayısız uygulamalarının yapılmasıyla birlikte oldukça yaygınlaşmasına bağlı olarak, var olan kesirli türev ve integral operatörleri tanımlarına yenileri eklenmekte ve bu da araştırmacılar arasında fikir ayrılıklarına yol açmaktadır. Bu fikir ayrılıklarının yaşanmasının en önemli sebeplerinden biri ise kesirli operatörlerin farklı türlerinin ayırt edilebilmesine yönelik herkesçe kabul gören spesifik sınıflandırma kriterlerinin bulunmamasıdır. Hangi türev operatörlerinin "kesirli" sıfatıyla kullanılabileceğinin ya da literatüre sunulan kesirli operatör tanımlarından hangilerinin "yeni" olarak nitelendirilip hangilerinin sadece bir genelleştirme ya da modifikasyondan ibaret olduğuyla alakalı farklı görüşler mevcuttur. Diğer yandan, reel veriler kullanılarak, klasik (tam sayı mertebeli) türev ve kesirli mertebeden farklı tipten operatörlerin matematiksel modeller üzerinde karşılaştırma analizinin yapıldığı ve keyfi mertebeden türev içeren modellerin daha avantajlı sonuçlar verdiği yüzlerce çalışma bulunmaktadır. Bu tez çalışmasında, öncelikle diğer tüm kesirli operatörlerin temeli niteliğinde olan Riemann-Liouville kesirli analizi hakkında detaylı bir şekilde bilgilendirme yapılmasının ardından kesirli türev ve integral tanımlarının sahip oldukları özelliklere göre ayırt edilebilmesini sağlamak için literatürde mevcut olan farklı bakış açılarını kapsayacak makul bir sınıflandırma ve sınıflandırma kriterleri sunulmuştur. Dolayısıyla, bu sınıflandırma kriterleri göz önünde bulundurulduğu takdirde, karşılaşılan kesirli türev tanımlarının hangi sınıfa ait olduklarını ve önemli özelliklerini belirleyerek ele alınan problem için kullanışlı olup olmadığı hakkında tahminde bulunmak mümkün olacaktır. Bu tez çalışması boyunca, çeşitli lokal türevleri ve singüler çekirdekli lokal olmayan kesirli türev operatörlerini tanıtmakla birlikte; fizik, tıp, mühendislik ve biyolojideki matematiksel modeller, kullanılan operatörler arasında karşılaştırma analizi yapılarak detaylı bir şekilde incelenmiştir. Diğer yandan, lokal türevler sınıfında yer alan oransal (proportional) türev kullanılarak yeniden tanımlanan çözüm metotları diferansiyel denklemlerin çözümü için verilmiştir. Kontrol teorisinde kullanılan oransal türev sağlam bir teorik alt yapıya sahip bir türev çeşidi olup, lokal olmayan versiyonlarıyla birlikte tez boyunca sıklıkla kullanılmıştır. Hem lokal hem de lokal olmayan türevlerle incelenen modeller için MATLAB ile elde edilen grafikler üzerinde çözüm eğrilerinin davranışları gözlenerek yorumlanmıştır. Bu çalışma neticesinde elde edilen sonuçlara göre, hem lokal türevlerin hem de lokal olmayan kesirli türevlerin lineer diferansiyel denklemler ve lineer olmayan diferansiyel denklem sistemleri üzerinde avantaj yaratabilecek etkilere sahip oldukları gözlenmiştir. Birçok farklı türden keyfi mertebeli türev ve integral operatörünün bir arada görülmesini sağlayan ve hem teorik hem de nümerik olarak analizini sunan bu çalışmayla, kesirli analize geniş bir perspektifle bakılması sağlanmaya çalışılmıştır.