Kesirli türevin eğrilerin afin diferansiyel geometrisine uygulamaları

Parametrik nesnelerin diferansiyel geometrisi üzerine yapılacak çalışmalar için zincir kuralı, yani bileşke fonksiyonların türev formülü, elzemdir. Bu gereklilik literatürde mevcut olan çeşitli kesirli türev operatörlerinin eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerine yapılacak çalışmalara uygulanmasında önemli bir engel teşkil etmektedir. Bu engeli aşmak için matematikçiler tarafından bileşke fonksiyonların Caputo kesirli türevine dair bir sadeleştirme formülü öne sürülmüştür. Bu sadeleştirme formülünü kullanan bir teknik sayesinde parametrik düzlem eğrilerin Öklitsel değişmezleri, yani Frenet eğriliği ve vektörleri çalışılmıştır. Bu teknik ile bir parametrik eğri için Frenet tipi yeni bir eğrilik tanımlanabilir, ancak yeni Frenet vektörleri elde edilememektedir. Bu başlı başına önemli bir katkı olmakla birlikte, kesirli türevin geometrik özelliklerinin daha iyi gözlemlenebilmesi için parametrik eğrilerin kesirli türev vektörlerinin klasik olanlardan farklı olması beklenir. Bu beklentiden esinlenerek, literatürde parametrik düzlem eğrilerin Caputo kesirli türev yardımıyla eş afin Frenet değişmezleri çalışılması fikri ortaya atılmıştır. Bunun sebebi bahsi geçen teknik ile Frenet tipi yeni eş afin eğrilik ve vektörlerin elde edilmesi ve dolayısıyla kesirli türevin daha iyi bir geometrik gözlemi yapılabilmesidir. Bu akımı takiben bu yüksek lisans tezinde parametrik uzay eğrilerin eş afin Frenet değişmezleri bahsi geçen teknik sayesinde yeniden analiz edilmiştir. Daha açık bir şekilde 3-boyutlu reel afin uzayda bir parametrik eğrinin yeni eş afin Frenet eğrilikleri ve vektörleri tanımlanmıştır. Klasik olanlarla arasındaki ilişkiler ortaya konulmuştur. Grafik ve şekillerle zenginleştirilerek çeşitli örnekler ifade edilmiştir. Ayrıca sonuç bölümünde bu tez içerisinde kullanılan teknik ile olası yeni araştırma problemi önerileri ifade edilmiştir.