Lerch ve Pell polinomlarının matris özellikleri ve lineer kısmi diferansiyel denklemlere uygulamaları

Bu tezde, lineer kısmi diferansiyel denklemlerin Cauchy, Dirichlet, Neumann veya Robin koşulları altında, yani Cauchy, Dirichlet, Neumann ya da Robin problemlerinin, yaklaşık çözümlerini bulmak için Lerch polinomlarına dayalı matris sıralama yöntemi ve Pell polinomlarına dayalı matris sıralama yöntemi geliştirilmiştir. Kullanılan yöntemlerde, çözümün katsayıları matris formuna, yani karşı gelen cebirsel bir denklem sistemine, indirgenerek problemlerin yaklaşık çözümlerine ulaşılmıştır. Elde edilen sonuçlardan, önerilen yöntemlerin uygulanmasının etkili ve kolay olduğu gözlemlenmiştir. Çalışmada ilk olarak, kısmi diferansiyel denklemlerin fen ve mühendislik alanlarındaki kullanımı, tarihsel gelişim süreci ve çözüm yöntemleri incelenmiştir. Daha sonra, kısmi diferansiyel denklemlerin genel bilgileri, Lerch polinomlarının tanımı ve grafikleri ile beraber Pell polinomlarının tanımı ve grafikleri verilmiştir. Ardından, Bahsedilen polinomların ve türevlerinin temel matris bağıntıları kullanılarak, lineer kısmi diferansiyel denklemler için, sırasıyla, Lerch matris sıralama yöntemi ve Pell matris sıralama yöntemi açıklanmıştır. Ayrıca, Laplace, Poisson, Helmholtz, telgraf, konveksiyon difüzyon, 1-boyutlu ısı, sönümlü dalga, titreşim gibi lineer kısmi diferansiyel denklemlerin Cauchy, Dirichlet, Neumann veya Robin koşulları altındaki nümerik çözümleri için örnekler verilmiştir. Önerilen yöntemlerin etkinliğini ve güvenilirliğini göstermek için rezidüel hata analizi yapılarak, elde edilen sonuçlar tablo ve grafikler ile açıklanmış; irdelenmiş ve yorumlanmıştır.