Matematiksel fizikte bazı diferensiyel denklemlerin kesirsel matematikle çözümlerinin incelenmesi

Doğada ve beşeri yaşamda stokhastik olarak gelişen birçok karmaşık sistem bulunmaktadır. Bu tez çalışmasında, karmaşık fiziksel sistemlerin dinamiğini tasvir etmekte standart matematiksel fiziğin yetersizliği gösterilmekte ve stokhastik sistemleri gerçeğe yakın tasvir eden kesirsel matematiğin önemi açıklanmaktadır. Ancak görülüyor ki, kesirsel matematik, matematiksel tanımlardan öteye geçememektedir. Kesirsel matematiğin karmaşık sistemleri tasvir etmekte başarılı olmasının temelinde yatan fiziksel mekanizmayı açığa çıkarmak amacıyla, sistemin, kümülatif olarak gelişimini hesaba katan Fibonacci yaklaşımından hareketle kümülatif yöntem geliştirilmektedir. Buradan hareketle, fraktal bir uzayda, bellek etkileri ile gelişen karmaşık süreçlerin, kesirsel matematikle paralel olarak kümülatif yöntemle de ele alınabileceği gösterilmektedir. Kümülatif yöntemde karmaşık fiziksel sistemin geliştiği çevrenin fiziksel özelliği $\alpha$ parametresi ile girdirilmektedir. Bizim formülasyonumuza göre, fiziksel sistemlerin gelişimi, kümülatif yöntemin operatör tekniği ile ele alınmaktadır. Bizim yaklaşımımızda, operatör kuvveti olarak ortaya çıkan $\alpha$ parametresi, kesirsel matematiğin differintegral mertebesine karşılık gelmektedir ve $\alpha$ parametresi fiziksel sistemin çevresi ile olan etkileşmesinin bir ölçüsü olarak ele alınmaktadır. Söz konusu yöntemlerin uygulanması amacıyla, Brown hareketleri, nüfus dinamiği, canlıların yaşam ve ölüm olasılıklarının araştırılması kümülatif yaklaşımla ve kesirsel matematik çerçevesinde de ele alınmaktadır. Çevrenin, canlı nüfus dinamiğine, bireyin yaşam ve ölüm olasılıklarına etkisi çizilen grafikler üzerinde $\alpha$'ya bağlı olarak gösterilmektedir.