Matris gruplarının lie teorisi açısından incelenmesi

Matris grupları, matematiğin birçok alanında ve uygulamalarda önemli bir role sahiptir. Matris grupları özellikle cebirsel (soyut cebir ve lineer cebir anlamında) yapıları ile ele alınmakla birlikte, bu tez çalışmasında matris gruplarının topolojik yapısı da ele alınmıştır. Daha önceki yıllarda yapılan çalışmalarda da görülmüştür ki, matris grupları cebir ve geometrinin matematiksel olarak ilginç bir şekilde iç içe geçmiş bir örneği olarak görülebilir.Lie teorisi, Lie grupları ve Lie cebirleri ile bunların uygulamalarından oluşan matematiğin bir alt dalıdır ve 19. yüzyılın sonlarında Norveçli matematikçi Sophus Lie tarafından ortaya atılmıştır. Temelde sürekli ya da diferansiyellenebilir soyut grupların teorisine dayanır. Bu tez çalışmasında n-boyutlu Euclid uzayı üzerinde lineer dönüşümlere karşılık gelen matrislerin gruplarını ele alınmıştır. Bunun için çeşitli kaynaklardan matris gruplarının yapıları ve bunlar üzerindeki ilgili önerme ve teoremleri kullanılmıştır. Diğer taraftan, Lie teorisi temel olarak topoloji ve diferansiyellenebilir manifoldların grup yapısına dayanmaktadır. Bu sebeple bütünlük açısından, diferansiyellenebilir manifoldların teorisindeki ilgili tanım ve teoremler ile ilgili topolojik temellere değinilmiştir. Bir Lie grubu kendisine ilişik bir yapı olan Lie cebiri kavramı ile birlikte anılır. Lie grupları ile Lie cebirleri arasındaki ilişki üstel tasvir ile sağlanır. Bazı çalışmalarda Lie grupları ile çalışırken, bunlar yerine Lie cebirleri ile çalışmak daha pratik ve uygun olabilir. Herhangi bir matris grubunu, üzerinde kurduğumuz diferansiyellenebilir yapı ile birlikte bir manifold ve işlem ile birlikte bir Lie grup yapısına sahiptir. Bu tez çalışmasında özel olarak genel lineer grup, özel lineer grup ve ortogonal grup ele alınarak bunların Lie cebirleri de ayrıntılı incelenmiştir.