Derivations and automorphisms of certain subrings of matrix rings

K birimli ve birleşmeli herhangi bir halka olmak üzere K üzerinde tanımlı nxn tipindeki tüm matrislerin kümesi Mn(K) ile gösterilir. Bu küme, matrislerin bilinen toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka yapısı oluşturur. F herhangi bir cisim olmak üzere, Skolem-Noether teoreminin bir sonucu olarak, Mn(F) halkasının her otomorfizmasının bir iç otomorfizma olduğu görülür. D dönüşümü, K halkası üzerinde tanımlı toplamsal bir dönüşüm olmak üzere eğer her a,b için D(ab)=D(a)b+aD(b) koşulunu sağlıyorsa bu dönüşüme K-nın bir türevi denir. Yine Skolem-Noether teoreminin bir sonucu olarak, F bir cisim olmak üzere Mn(F) halkasının her türev dönüşümü bir iç türev dönüşümüdür. K birimli ve birleşmeli herhangi bir halka olmak üzere tüm nilüçgensel matrislerin halkası NTn(K) olsun. Bu halkanın otomorfizmaları V.M. Levchuk tarafından 1983 yılında belirlenmiştir. 2006 yılında, J.H. Chunve J.W. Park, NTn(K) halkasının her türev dönüşümünün köşegen(diagonal), halka(trivial extension) ve kuvvetli nilpotent(strongly nilpotent) türev dönüşümlerinin toplamı olarak yazılabileceğini göstermişlerdir. Birimli ve birleşmeli bir halka K ve bu halkanın bir ideali J olsun. Rn(K,J)=NTn(K)+Mn(J) ile tanımlı küme, bilinen matris toplamı ve çarpımı ile bir halka olur. 2001 yılında F. Kuzucuoğluve V.M. Levchuk tarafından, Rn(K,J) halkasının otomorfizmaları bazı özel şartlar altında belirlenmiştir. Bu tezin ilk bölümünde, bazı matris halkalarının ve cebirlerinin türev dönüşümleri ve otomorfizmaları ile ilgili gelişmeler, tarihleriyle birlikte verilmiştir. Daha sonra ikinci bölümde, birimli ve birleşmeli bir K halkası ile bu halkanın bir ideali J için Rn(K,J) halkasının türev dönüşümleri karakterize edilmiştir. Herhangi bir halkadan alınan keyfi a ve b elemanları için a.b=ab+ba ile tanımlı çarpıma Jordan çarpımı denir. Bu halka üzerinde tanımlı toplamsal bir \Delta dönüşümü \Delta(a.b)=\Delta(a).b+a.\Delta(b) koşulunu sağlıyorsa bu dönüşüme halkanın bir Jordan türev dönüşümü denir. Her türev dönüşümü bir Jordan türev dönüşümü iken bunun tersi her zaman doğru değildir. NTn(K) halkasının tüm Jordan türev dönüşümleri F. Kuzucuoğlu tarafından 2011 yılında verilmiştir. Son olarak, keyfi birimli ve birleşmeli K halkası ile bu halkanın herhangi bir J ideali üzerinde tanımlı Rn(K,J) halkasının bütün Jordan türevleri üçüncü bölümde karakterize edilmiştir.