Merkezi olarak ankastre bir dairesel mebranın düzlemine dik titreşim analizi

ÖZET MERKEZİ OLARAK ANKASTRE.BİR DAİRESEL.. MEBRANIN DÜZLEMİNE DİK TİTREŞİM ANALİZİ Dairesel diskler, bir çok kullanım alanının olmasından dolayı, eskiden olduğu gibi bugün de değişik mühendislik disiplinlerinin ilgisini çekmektedir. Farklı yükler altında, değişik sınır şartlarında dairesel diskler pratikte oldukça fazla uygulama alam bulmaktadır. Solar yelkenler veya uzay araçları için optik veya radar yansıtıcılar, oldukça büyük ve eksenleri etrafında dönen dairesel diskler için iyi bir uygulama alanıdır. Son yıllarda modern bilgisayarlarda kayıt cihazı olarak kullanılan diskler (floppy disks) üzerindeki çalışmalar, ekseni etrafında dönen dairesel diskler için yeni bir uygulama alanı açmıştır. Bu geniş uygulama alanı dairesel diskler üzerindeki araştırmaların artacağını göstermektedir. Dairesel disklerin analizi, stabilite, titreşim, gerilme dağılımı, tasarım, op- timizasyon ve yer değiştirme konularında, çok fazla teorik ve deneysel çalışmayı içermektedir. Bu konularla ilgili problemlerin çözümünde genellikle sayısal çözüm metodlarma gereksinim duyulur. Çünkü analitik çözümler sadece dairesel disk lerin özel durumları için vardır. Bunun sebebi, fiziksel olayı temsil eden diferan siyel denklemlerin karmaşıklığının ilave terimlerle hızla artmasıdır. Bu çalışmada elastik homojen bir zemine oturan, düzlem, dairesel, homo jen, izotropik ve çok ince bir diskin dinamik analizi üzerinde çalışılmıştır. Disk b yarıçapında olup, r = a eğrisi boyunca ankastredir ve simetri ekseni etrafında fi açısal hızı ile dönmektedir (Şekil 2.3). ilk olarak, yukarıda geometrisi açıklanan disk üzerinden sonsuz küçük bir parça alınarak, bu eleman üzerine etkiyen kuvvetler düşünülmüş ve problemin tabiatından kaynaklanan eksenel simetri ve düzlem gerilme hali de göz önünde bulundurularak radyal ve açısal doğrultulardaki denge denklemleri 0(TT ) 0(0) = cos(fc0), & = 1,2,--- olarak bulunmuştur. W(r) fonksiyonunu bulabilmek için diğer iki çözümden yararlanıldığında, bir özdeğer problemi ile karşılaşılmaktadır. Bilindiği gibi özdeğer problemlerinin genel formu L[W] = \M [W] şeklindedir. Elimizdeki problem için L ve M opera- m ar ar rm m M = -r Bu aşamada Rayleigh-Ritz Metodu devreye sokularak, özdeğerler ve özvektörler, rijitlik ve kütle matrisleri bulunduktan sonra, elde edilmektedir. Bu değerler, daha önceden kabul ettiğimiz çözüm fonksiyonunda N Wn = Y^aiUi(r) i=l yerine konarak W(r) fonksiyonu bulunmuş oluyor. Yukarıda W(r) için kabul edilen çözüm fonksiyonunda as- '1er özvektörler, ü/,-(r) ise rastgele seçilen fakat bütün sınır şartlarım sağlayan bir karşılaştırma fonksiyonudur. Bizim uygula malarımızda bu fonksiyon aşağıdaki gibi seçilmiştir. Ui(r) = sin 2ît. (r - a) 3 (b-a) Görüldüğü gibi u(r, ö, t) fonksiyonu artık bilinmektedir. Sonuçta geomet rimizin serbest titreşim analizi yapılmış ve titreşim modları grafik ve şekillerle sunulmuştur. Daha sonra geometrimizin uyarılmaya karşı cevabı incelenmiştir. Disk r = a eğrisi boyunca ankastreydi. Buradaki uyarılma, ankastrenin bilinen bir fonksiyon olan u0(t) miktarında z yönünde hareketidir. u0(t) rijit cisim hareketi ve u(r, 9, t), rijit cisim hareketine relatif olan elastik deformasyon olarak düşünül düğünde, herhangi bir noktanın mutlak yer değiştirmesi uQ(t) + u(r,6,t) ıxolarak alınabilir. Sistemimize etkiyen dış kuvvetler olmadığı için sistemimizi tarif eden diferansiyel denklem aşağıdaki gibidir. L[u0(t) + u(r, 0, t)] + M(r, 9)- [u0(t) + u(r, 9, t)] = 0 Gerekli matematik işlemlerden sonra denklemimiz L{u(rAt)] + M(r,e)^^ = -M (r, 9)^^- - A,(r, 6)u0(t) formunu alır. En son elde ettiğimiz denklemin sağ tarafının /(r, 9,t) gibi bir fonksiyon olduğu düşünülebilir. Bu durum bize, desteklerin hareketinden kay naklanan titreşim probleminin, zorlanmiş titreşim problemi olarak çözüldüğünü gösteriyor. Sağdaki ifadenin ilk terimi yayılı atalet kuvvetini, ikinci terim ise elastik kuvvetleri temsil etmektedir. Bu çalışmada rijit cisim hareketini temsil eden uo(t) = A sin wt olarak alınmıştır. Sistemimizin uyarılmaya karşı vermiş olduğu cevabı bulabilmek için elde edilen son haldeki diferansiyel denklem L[u(r, 9, t)] + M(r, 9)-[u(r, 9, t)] = A{k - raw2) sin u>t Denklemin çözülebilmesi için bundan sonra yapılması gereken aşağıdaki gibi bir koordinat dönüşümü yapmaktır. u(r,e,t) = J2*k(r,e)rik(t) k=ı Bu dönüşümde kullanılan Kk(r, 9) fonksiyonu önceden serbest titreşim analizi vasıtası ile hesaplanmıştı. Bu aşamada rjk(t) fonksiyonunun model analizi vasıtası ile hesaplanması gerekmektedir. Bu fonksiyonu bulabilmek için kullanılan dife ransiyel denklem Mt) + "2Mt) = Nk(t), * = 1,2,--- Burada iVfc(t) = / Kk(r,6)F{t)drd9 Jd Laplace dönüşüm metodu kullanılarak Vk{t) = - I Nk(r)smu;k(t-T)dT+T]k(0)cosur(t)+TJk(0)^^, k = 1,2,-.. vk Jo uk formunda bulunur. Burada ıjk(0) ve 7/fc(0), başlangıçtaki genelleştirilmiş yer değiştirme ve hızdır ve aşağıdaki denklemler vasıtası ile bulunurlar. tjr(0) = / M(r,9)wT(r,9)w{r,9,0)drd9 JD ı/P(0) = / M(r, 9)wT(r, 9)w(r, 9, 0)drd9 r = 1, 2, 3,... Jd xFakat bizim problemimizdeki başlangıç koşullan u(r,0,O) = O û(r,0,O) = O olduğu için, genelleştirilmiş başlangıç koşullan da aşağıdaki gibidir. r}k(0) = 0 rjk(0) = 0 Sonuçta sistemimizin r - a smınnın uo(t) fonksiyonu büyüklüğünce düzlemi ne dik istikamette (z yönünde) harekete maruz kalmasına (uyarılmasına) karşı gösterdiği cevabı sayısal olarak çözmüş oluyoruz. Modelimizin herhangi bir t anındaki deforme olmuş halini elde edebiliriz. Yine bu analiz ile ilgili sonuçlar şekiller halinde sunulmuştur. Daha sonraki bölümde elimizdeki probleme değişik bir açıdan yaklaşılmış tır. Elastik zemin kaldırılmış ve problem " Applied Structure" adındaki bir yazılım içinde modellenmiştir. Bu analiz sonucunda disk üzerindeki gerilme dağılımları ve yer değişimleri üç boyutlu olarak renklendirilmiş şekilde elde edilmiştir. Fakat kullanılan bilgisayarın kapasitesinin yetersiz olmasından dolayı mod şekilleri an cak iki boyutlu olarak temsil edilebilmiştir. Tezin sonucunda elde ettiğimiz grafikler gösteriyor ki; frekanslar, poisson oranından ve yay katsayısından yok denebilecek kadar az etkilenmektedir. Bunun yanında açısal hız ve mebranm iç yarıçapının değişimleri, frekansları oldukça etki lemektedir. Ayrıca, yapılan analiz sonucu bulunan mod şekilleri, Applied Struc ture yazılımının analizi sonucu bulunan mod şekilleri ile benzerlik göstermektedir. xı