Modüler metrik uzaylarda sabit nokta teorisi ve bazı uygulamaları

Bu doktora tezi yedi bölümden oluşmaktadır. Alışılmış metrik uzayların genelleştirilmiş bir hali olan modüler metrik uzaylar ve bu uzaylardaki sabit nokta teoremlerini içermektedir. Öncelikle, alışılmış metrik uzaylarda tanımlanmış olan bazı özel şartların modüler metrik uzaylarda genelleştirilmiş halleri bu tezin farklı bölümlerinde tanımlanmıştır. Her bir bölümde tanımlanan bu genelleştirilmiş şartlar için modüler metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri önce ifade edilmiş sonra da ispatı yapılmıştır. Bu bölümlerde ispatlanan teoremlerin sonuçlarını pekiştirmek için özel örnekler verilmiştir. Uygulama olarak da bahsi geçen uzaylarda farklı tip dönüşümler için sabit nokta teoremlerinin sonuçları kullanılarak genel halde verilen birinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel ve integral denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği ispatlanmıştır. Giriş bölümünde, sabit nokta kavramı açıklanıp ve bu konu hakkında literatür özeti verilmiştir. Sabit nokta teoremi ve bu teoremin ilk uygulamaları hakkında kısaca bilgiler verilmiştir. İkinci kısımda, öncelikle metrik ve metrik uzay kavramları açıklanmış olup bu uzaylarda Banach büzülme prensibine dayanan sabit nokta teoremleri hakkında özet bilgiler verilmiştir. Daha sonra, bu tez çalışmasında faydalanılan bazı özel fonksiyonlar ile alışılmış metrik uzaylarda tanımlanan C-şartı ve F-daralma şartlarının tanımlarından kısaca bahsedilmiştir. Metrik uzaylarda bahsi geçen şartları sağlayan dönüşümler için sabit nokta teoremleri ve yapılan çalışmalar hakkında bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölüme modüler metrik uzay hakkında literatür özeti verilerek başlanmıştır. Modüler metrik uzaydan önce modüler ve modüler uzay kavramları tanıtılmıştır. Bu kavramların ne zaman ve kim tarafından ortaya atıldığından bahsedilmiştir. Daha sonra da Chistyakov tarafından ortaya atılan modüler metriğin tanımı verilmiştir. Bu tanımdan yola çıkılarak oluşturulan modüler metrik uzay kavramı açıklanmıştır. Modüler metrik uzaylarda ilk defa daralma dönüşümleri için sabit nokta teoreminin ifade ve ispat edildiğine değinilmiştir. Bu gelişmeden sonra birçok bilim insanı modüler metrik uzaylarda farklı tip dönüşümler için sabit nokta teoremleri üzerinde çalışmaya başlamıştır. Bu uzaylarda sabit nokta teoremi ile ilgili birçok sonuçlar ortaya konduğundan bahsedilmiştir. Bazı özel modüler metrik uzay yapıları tanıtılmıştır. Ayrıca, modüler metrik uzaylarda limit, yakınsaklık, tamlık, Cauchy dizisi olma gibi bazı önemli tanımlar verilmiştir. Bununda yanında, modüler metrik uzaylarda daralma şartı kavramının tanımı verilip bu şart için literatürde var olan bazı sabit nokta teoremlerinden bahsedilmiştir. Dördüncü kısımda metrik uzaylarda verilen genelleştirilmiş C-şartı modüler metrik uzaylara genişletilerek bu uzaylarda ilk defa tanımlanmıştır. Öncelikle, bu şartı sağlayan dönüşümler için modüler metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri ifade edilip ispatlanmıştır. Burada elde edilen sonuçlardan faydalanılarak birinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel denklemler için anti-periyodik sınır değer probleminin ve başlangıç değer probleminin çözümünün varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Dolayısıyla, ilk önce bu problemler için ayrı ayrı modüler metrik uzaylar tanımlanmıştır. Sonra da bu bölümün başında ispatlanan sabit nokta teoremleri kullanılarak ele alınan problemler için tanımlanan modüler metrik uzaylarda bahsedilen problemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Ayrıca, burada modüler metrik uzayların alışılmış metrik uzaylardan farkını göstermek için metrik olmayan özel bir modüler metrik ele alınmıştır. Bu teoremlerin modüler metrik uzaylar ile alışılmış metrik uzaylar arasındaki fark uzayında geçerli olduğu gösterilmiştir. Beşinci bölümde öncelikle ≼ sıralama bağlantısı tanımlanmıştır. Bu tanım kullanılarak kısmi sıralı modüler metrik uzaylar tanımlanmıştır. Bir önceki bölümde modüler metrik uzaylarda tanımlanan genelleştirilmiş C-şartları için kısmi sıralı modüler metrik uzaylarda sabit nokta teoremlerinin ifade ve ispatları verilmiştir. Bunun yanında bu teoremlerden elde edilen sonuçları pekiştirmek için bazı özel kısmi sıralı modüler metrik uzaylarda örnekler verilmiştir. Bu örneklerde verilen dönüşümlerin çözümlerinin var ve tek olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca, dönüşümün grafiği ile y=x doğrusunun kesişimden faydalanılarak sabit noktasının tek olduğu gösterilmiştir. Uygulama olarak özel bir kısmi sıralı modüler metrik uzayında bir integral denklem ele alınmıştır. Son olarak da bu bölümde ispat edilen teoremler kullanılarak ele alınan bu integral denklemin çözümünün bahsedilen modüler metrik uzayda varlığı ve tekliği ispat edilmiştir. Altıncı kısımda alışılmış metrik uzaylarda tanımlanan F-daralma şartının α-kabul edilebilir dönüşümler kullanılarak genelleştirilmiş tipi modüler metrik uzaylarda tanımlanmıştır. Bu çalışmada ilk defa tanımlanan bu genelleştirilmiş F-daralma şartı F_α-daralma şartı olarak gösterilmiştir. Burada 1. tip ve 2. tip olmak üzere iki farklı F_α-daralma şartları tanımlanmış olup her biri için ayrı ayrı sabit nokta teoremleri ifade ve ispat edilmiştir. Öncelikle, bazı şartları sağlayan dönüşümler için sabit noktanın varlığı ispatlanmıştır. Bununla ilgili örnek verilip örnekteki dönüşüm sabit noktasının var fakat tek olmadığı gösterilmiştir. Bunun yanında farklı şartlar altında yine bir dönüşümün sabit noktasının varlığı ifade ve ispat edilip birçok sonuç verilmiştir. Daha sonra burada ispatlanan teoremlerdeki bazı şartlar değiştirilerek sabit noktanın tek olduğu ifade ve ispat edilmiştir. Bu teoremlerle ilgili örnek verilmiş olup örnekteki dönüşümün sabit noktasının var ve tek olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, sabit noktanın tekliği ile ilgili yine birçok sonuç ifade edilmiştir. Son olarak genel formda verilmiş bir integral denklemin tanımlanan modüler metrik uzayda çözümünün var olduğu gösterilmiştir. Bunun uygulaması olarak ise özel halde verilmiş bir integral denklemin çözümünün ele alınan modüler metrik uzayda var olduğu gösterilip bu var olan çözüm belirtilmiştir. Bu tez çalışmasının son bölümünde modüler metrik uzaylarda sabit nokta teorisi ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Tez kapsamında alışılmış metrik uzaylarda var olan bazı özel şartların modüler metrik uzaylara genişletilmiş halleri tanımlanmış olup bu şartları sağlayan dönüşümler için ele alınan uzaylarda sabit nokta teoremleri ifade ve ispat edilmiştir. Bunun yanında burada ispatlanan teoremlerin sonuçlarını pekiştirmek için ayrı ayrı örnekler verilmiştir. Bu ispatlara dayanarak her bölüm önemli sonuçlar içermektedir. Bu tezin dört, beş ve altıncı bölümlerindeki modüler metrik uzaylarda tanımlanan genelleştirilmiş şartlar ilk defa bu tez çalışmasında tanımlanmış olup bu bölümlerde ifade ve ispat edilen sabit nokta teoremleri bu tez çalışmasının orijinal bulgularıdır. Sonuç olarak, bu tez çalışması literatüre katkı yapacak yeni ve orijinal sonuçlar bulundurmaktadır.