Pattern-avoiding permutations: The case of length three, four, and five

Uzunluğu $n$ olan bir permütasyon, kendisinde daha kısa $k$ uzunluğundaki bir permütasyonla aynı göreceli sıralamaya sahip bir altdizi içeriyorsa, bu permütasyonu motif olarak içerir. Aksi takdirde, bu permütasyon bu motifi içermez. Uzunluğu $n$ olan permütasyonlar kümesi $S_n$ ile, uzunluğu $n$ olan ve $\tau$ motifini içermeyen permütasyonlar kümesi $S_n(\tau)$ ile gösterilir. Motif içermeme, motif kümesi $S_k$ üzerinde bir denklik bağıntısı tanımlar. \rho, \tau \in S_k$ iken her $n \geq 1$ için $|S_n(\rho)| = |S_n(\tau)|$ doğruysa $\rho$ ve $\tau$ aynı Wilf sınıfındadır denir ve $\rho \sim_W \tau$ ile gösterilir. Bu denklik sınıflarına Wilf sınıfları denir. Başlıca sorular $S_k$'nın Wilf sınıflarını belirlemek ve her sınıftaki eleman sayısını bulmaktır. Öncelikle $S_3$ ve $S_4$'ün Wilf sınıflarının belirlenmesine ve Wilf sınıflarının sayımına yönelik çalışmaları inceliyoruz. Daha sonra, uzunluğu beş olan ikili motiflerin Wilf sınıflandırmasına ilişkin bazı yeni sayısal sonuçlar sunuyoruz. Eğer bir Wilf sınıfında birden fazla motif ikilisi varsa buna büyük Wilf sınıfı, sadece bir tane motif ikilisi varsa küçük Wilf sınıfı denir. Uzunluğu beş olan ikili motifler için en az 968 küçük Wilf sınıfı ve en fazla 13 büyük Wilf sınıfı olduğunu gösteriyoruz.