Kesirli mertebelı black scholes diferansiyal denklemiiçin sinir ağı yöntemi

Bu tez, kesirli mertebeden Black-Scholes diferansiyel denklemini (FOBSDE) ele almak için sinir ağlarını (NNM) kullanan yeni bir yaklaşım sunmaktadır. Bu denklem, hafıza etkilerini ve yerel olmayan dinamikleri hesaba kattığı için finans matematiğinde opsiyon fiyatlandırması için çok önemlidir. Önerilen yöntem, spektral yaklaşımı kaydırılmış Legendre polinomları ve sinir ağı optimizasyonu ile akıllıca birleştirerek kesirli türevlerin ve sınır koşullarının etkili bir şekilde ele alınmasını sağlar. Çözüm, artık hata matrisinin Frobenius normunu azaltmak için gradyan inişi yoluyla yinelemeli olarak ince ayarlanan ağırlıklara sahip bir dizi Legendre temel fonksiyonu olarak ifade edilir. Kapsamlı sayısal testler, yöntemin doğruluğunu ve verimliliğini göstermekte ve geleneksel sayısal tekniklerden daha iyi performans gösterdiğini kanıtlamaktadır. Örneğin, r = 0,05, σ = 0,2 ve kesirli α = 0,5 parametreleriyle, yöntem 1,23×〖10〗^(-3) maksimum hataya ve 2,87×〖10〗^(-4) bağıl L^2-hatasına ulaşmaktadır. Bu sonuçlar, sinir ağlarının karmaşık kesirli kısmi diferansiyel denklemleri çözme potansiyelinin altını çizerek finansal modelleme için güçlü bir temel oluşturmaktadır. Bu araştırma, spektral teknikler ve makine öğrenimi arasında köprü kurarak modern finans mühendisliği için esnek ve ölçeklenebilir bir araç sağlamaktadır.