Öklid ve timelike bishop küresel eğriler ve karakterizasyonları

Diferansiyel geometrinin üzerinde durduğu en önemli konulardan birisi uzay eğrilerinin incelenmesidir. 3-boyutlu Öklid uzayında eğrileri karakterize etmek için teğet, asli normal ve binormal vektörlerinden oluşan Frenet çatısı kullanılır. Bu çatı uzay eğrileri için çalışılabilecek en iyi ortonormal çatıdır. Ayrıca bir eğrinin eğriliği ve burulması, bu eğrinin uzaydaki yerel davranışı hakkında bilgi verir. Bir eğrinin eğriliği, bu eğrinin teğet doğrudan sapma miktarını gösterir ve burulması da bu eğrinin teğet ve normal vektörlerinin belirlediği oskülatör düzlemden sapma miktarını ölçer. Genel olarak, bir uzay eğrisi, eğrilik ve burulmayı içeren bir diferansiyel denklem ile karakterize edilebilir. Bu nedenle, bir eğrinin geometrik özelliklerinin irdelenebilmesi için en azından üçüncü mertebeye kadar türevlenebilmesi gerekmektedir. Bir eğrinin bazı noktalarda eğriliği sıfırlanabilir, yani ikinci türevi sıfır olabilir. Bu durumda eğrinin daha iyi incelenebilmesi için Frenet çatısına alternatif ve onunla ilişkili olan Bishop çatısı oluşturulabilir. Frenet çatısında bulunan teğet vektörünü değiştirmeden diğer asli normal ve binormal vektörleri belli bir açı ile döndürerek Bishop çatısı veya paralel öteleme çatısı adı verilen başka bir çatı elde edilir. Buna göre Bishop çatısında vektörü aynen kalır ve bu vektöre dik düzlemde bulunan herhangi iki elemanlı bazı seçilir. Bu iki vektörün türevleri sadece vektörüne bağlıdır. Dolayısıyla bir eğrinin Bishop çatısına göre birinci ve ikinci eğriliği ile bu eğrinin eğriliği ve burulması arasında bir ilişki vardır. Son zamanlarda, Bishop çatısı kullanılarak uzay eğrilerinin birçok farklı karakterizasyonu verilmektedir. Uzay eğrilerinin en önemlilerinden birisi de küre üzerinde yatan, küresel eğrilerdir. Bu çalışmada, Frenet çatısına göre bir küresel eğrinin integral karakterizasyonları incelenmiştir. Özellikle, bir eğrinin küresel eğri olabilmesi için gerek ve yeter şart, Bishop çatısına göre birinci ve ikinci eğrilikler kullanılarak ortaya konulmuştur. Bishop çatısı kullanılarak bir küresel eğriyi karakterize eden üçüncü mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilmiştir . Aynı şekilde timelike Bishop çatı kullanılarak bir küresel eğriyi karakterize eden üçüncü mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilmiştir .