Operatör splitting B-spline kollokasyon yöntemi ile bazı kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümleri

Bu doktora tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. Tezin giriş bölümünde, kısmi diferansiyel denklemlerle ifade edilen çeşitli fiziksel olaylar, tezde kullanılan sonlu eleman ve operatör splitting yöntemlerinin kısa bir özetinin yanı sıra nümerik çözümleri elde edilen Burgers', modifiye edilmiş Burgers' (mBE), düzenli uzun dalga (RLW) ve coupled Burgers' denklemlerinin yapısı verildi. İkinci bölümde, tezde kullanılacak olan sonlu eleman ve operatör splitting yöntemleri ile ilgili temel tanım ve kavramlar verildi. Sonlu eleman yöntemiyle birlikte kullanılan kollokasyon yöntemi, spline fonksiyonlar, B-spline fonksiyonlar ve kübik B-spline fonksiyonlar detaylı olarak sunuldu. Ayrıca splitting yöntemlerinin kısa bir literatür taraması, operatör splitting yöntemleri ve bunlarla birlikte Lie-Trotter splitting şeması, Strang (S_{Δt}) splitting şeması, Lie-Trotter ve Strang splitting yöntemlerinin lokal splitting hatası ve Strang yöntemi kullanılarak ekstrapolasyon tekniği ile elde edilen Ext4 ve Ext6 yöntemleri anlatıldı. Üçüncü bölümde, lineer olmayan Burgers', modifiye edilmiş Burgers' (mBE) ve düzenli uzun dalga (RLW) denklemleri operatör splitting yoluyla biri lineer diğeri lineer olmayan iki alt denkleme split edildi. Daha sonra her bir denklem için elde edilen alt denklemlere kübik B-spline kollokasyon sonlu eleman yöntemi ile birlikte S_{Δt}, Ext4 ve Ext6 splitting yöntemleri uygulandı. Burgers' denklemi için üç, mBE denklemi için bir ve RLW denklemi için üç test problemi göz önüne alındı. S_{Δt}, Ext4 ve Ext6 yöntemleri ile hesaplanan nümerik sonuçlar tam sonuçlarla ve/veya literatürde mevcut olan çalışmaların L₂, L_{∞} ve ‖e₁‖ hata normlarıyla karşılaştırıldı. Ayrıca her denklem için sonlu eleman ve operatör splitting yöntemi ile elde edilen şemaların kararlılık analizleri von Neumann yöntemi ile incelendi. Dördüncü bölümde, lineer olmayan coupled viskoz Burgers' denklemi her biri lineer ve lineer olmayan iki alt denklemden oluşmak üzere toplam dört alt denkleme split edildi. Daha sonra elde edilen alt denklemlere kübik B-spline kollokasyon sonlu eleman yöntemi ile beraber S_{Δt}, Ext4 ve Ext6 yöntemleri uygulandı. Bu denklem için üç test problemi göz önüne alındı ve hesaplanan nümerik sonuçlar tam çözümle ve literatürdeki diğer çalışmaların L₂ ve L_{∞} hata normlarıyla karşılaştırıldı. Yine bu bölümde elde edilen sonlu elaman şemalarının kararlılık analizleri yapıldı. Son olarak beşinci sonuç bölümünde, tezin üçüncü ve dördüncü bölümlerinde sonlu eleman kübik B-spline kollokasyon yöntemi ile birlikte S_{Δt}, Ext4 ve Ext6 yöntemleri kullanılarak nümerik çözümleri hesaplanan denklemler için genel bir değerlendirme yapıldı.