Özel sayılar, özel fonksiyonlar ve bir kümenin elemanlarının permütasyonlarına göre de montmort sayıları (Derangement sayıları) arasındaki ilişkiler

Bu tez çalışmasında, matematikte özellikle Kombinatorik Analiz Teorisi'nde önemli bir yeri olan Derangement (düzensizlik) kavramı ele alınmıştır. Derangement, hiçbir elemanın kendisiyle eşleşmediği bir kümenin elemanlarının permütasyonu olarak tanımlanır. Yani, sabit noktaya sahip olmayan permütasyonlara derangement denir. Bu sayılar, ilk kez 1713 yılında Fransız matematikçi Pierre Remond de Montmort tarafından incelenmiş \cite{montmort1713} ve ölümünden sonra "de Montmort sayıları" olarak da anılmıştır. Günümüzde ise genellikle derangement sayıları olarak bilinmektedir. Bu tezde derangement sayıları ve polinomları incelenmiş; diğer özel sayılar ve polinomlarla olan ilişkileri, yeni özdeşlikler ve bağlantılı grafikler ortaya konulmuştur. Özellikle üreteç fonksiyonları, permütasyonlar ve grafiklerle olan bağlamda derangement yapılarına odaklanılmıştır. İlk olarak permütasyon gruplarına değinilmiş, ardından derangement sayı ve polinom ailesi açıklanmış ve bazı yeni üreteç fonksiyonlarını içeren denklemler sunulmuştur. Bu denklemler yardımıyla derangement sayıları ve polinomlarının diğer özel sayılarla ilişkileri göz önüne alınmıştır. Ayrıca ilgili polinom ailelerinin türevleri, integralleri, çeşitli özellikleri; grafiksel gösterimleri ve nümerik değerlerini içeren tablolar da çalışmada yer almaktadır.