Özel singüler eğrilerin geometrisi üzerine

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümü olup, literatür incelemeleri verilmiştir. İkinci bölümde Öklidyen uzayda eğri teori, yüzey teori ve temel singülerite teori için temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde özel bir singüler eğri olan framed eğriler tanıtılmıştır ve ayrıntılı olarak temel tanım ve teoremler verilmiştir. Framed eğrilerin varlık ve teklik koşulları, üç boyutlu Öklidyen uzayda framed eğriler, framed eğrilerin Bishop-tipi çatısı, framed eğrilerin Frenet-tipi çatısı ve framed eğrilerin Sabban-tipi çatısı verilmiştir. Ayrıca singüler bir yüzey olabilen framed yüzey teorisi tanıtılmıştır. Framed yüzeylerin temel değişmezleri, framed yüzeylerin eğrilikleri verilmiştir. Bu yapılar yardımıyla framed yüzeylerin cuspidal edge, swallowtail ve cuspidal cross cap yapılarına lokal difeomorfik olma şartları incelenmiştir. Dördüncü bölümden itibaren tezin orjinal kısmı başlamaktadır. Dördüncü bölümde özel framed düzlem eğrileri tanıtılmıştır. İlk olarak framed normal eğriler ve karakterizasyonları verilmiştir. Bir framed normal eğrinin framed küresel eğri olması için gerek ve yeter koşullar ifade edilmiştir. Daha sonra framed küresel eğrilerin genişlemesi yardımıyla framed rektifiyan eğriler incelenmiştir. Her framed küresel eğri ile oluşturulan genişlemenin bir framed rektifiyan eğri olmayabileceği gösterilmiştir. Framed küresel eğri ile oluşturulan genişleme sonucu elde edilen framed rektifiyan eğrinin framed vektörleri ve framed eğrilikleri verilmiştir. Beşinci bölümde framed eğriler için bir diferansiyel denklem tanıtılmıştır. Bu diferansiyel denklemin yapısı hakkında bazı önermeler ve sonuçlar verilmiştir. Ayrıca, elde edilen diferansiyel denklemin dördüncü bölümde tanıtılan framed normal eğri, framed rektifiyan eğriler ile arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Diğer yandan, bu diferansiyel denklem sayesinde regüler helis eğrilerinin bir genellemesi olan framed helisler için yeni bir karakterizasyon verilmiştir. Altıncı bölümde, özel bir integral eğrisi olan framed eğrilerin adjoint eğrileri tanımlanmıştır. İlk olarak framed eğrilerin genel çatısına göre adjoint eğriler verilmiştir. Daha sonra framed eğrilerin Frenet-tipi çatısına göre adjoint eğriler verilmiştir. Framed temel eğri ve adjoint eğrisi arasındaki ilişkiler açıklanmıştır. Bir framed adjoint eğrisinin framed Bertrand ve framed Mannheim eğrisi olması için gerek ve yeter koşullar ifade edilmiştir. Ayrıca, dayanak eğrisi bir framed eğri, doğrultaman vektörü ise regüler bir adjoint eğri olan regle yüzeyler tanıtılmıştır. Son olarak, framed adjoint eğrilerinin özel yüzeyleri olan normal yüzeyler, binormal yüzeyler ve genelleştirilmiş normal yüzeyler verilmiştir. Framed adjoint eğrilerinin normal, binormal ve genelleştirilmiş normal yüzeylerinin silindirik olma, açılabilir olma koşulları incelenmiştir ve striksiyon eğrileri verilmiştir. Ayrıca bu yüzeylerin tüm geometrik yapılarının yanı sıra singülerite tipleri incelenmiştir. İlk olarak framed eğrilerin adjoint eğrilerinin normal, binormal ve genelleştirilmiş normal yüzeylerinin singüler nokta kümeleri oluşturulmuştur ve framed yüzey teorisi yardımıyla singüler noktalarının dejenere olmayan bir singüler nokta olması için koşullar verilmiştir. Daha sonra framed eğrilerin adjoint eğrilerinin normal, binormal ve genelleştirilmiş normal yüzeylerinin cross-cap, cuspidal edge, swallowtail ve cuspidal cross cap yapılarına lokal difeomorfik olma koşulları elde edilmiştir.