Çoklu gövde dinamiğine yönelik yol tanımlı ve yönlü grafik vektörü metodu

Çoklu gövdeli sistemlerin dinamik modeli, robotik, araç ve makine tasarımı, bilgisayar animasyonları ve sanal gerçeklik uygulamalarına kadar geniş bir alanda önemli bir rol oynamaktadır. Çoklu gövdeli sistemlerin dinamik modellerinin bilgisayar ortamında verimli bir şekilde hesaplanmasına olanak sağlayacak algoritmaların geliştirilmesine yönelik önemli sayıda çalışma gerçekleştirilmiştir. Ancak modellenecek sistemin konfigürasyon zamanının azaltılması ve muhtemel modelleme hatalarının en aza indirilmesini sağlayacak algoritmaların geliştirilmesine yönelik daha az sayıda çalışma yapılmıştır. Çoklu gövdeli sistemlerin dinamik modelinde temel amaç hareket denkleminin elde edilmesidir. Model konfigürasyon zamanının azaltılması, sisteme ilişkin geometrik ve kütle bilgilerini içeren parametrelerin giriş olarak alındığı ve çıkış olarak hareket denkleminin elde edildiği modelleme ortamlarının geliştirilmesi ile sağlanmaktadır. Seri topolojiye sahip bir sistem için geometrik ve kütle bilgilerinin yanında, eklem noktalarındaki dönme eksenleri ve serbestlik dereceleri bilgileri yeterli olurken ağaç topolojisi veya kapalı zincir içeren bir sistem için gövdeler arasındaki bağlantıyı ifade edecek değişkenler de giriş olarak alınmalıdır. Gövdeler arasındaki bağlantı graf teorisine dayalı yöntemlerle matematiksel olarak ifade edilebilir. Burada önemli olan matematiksel olarak ifade edilen gövdeler arası bağlantıları içeren değişkenlerin hareket denkleminin otomatik olarak üretilmesini sağlayacak şekilde formülasyona dahil edilmesidir. Hareket denklemleri elde edilirken genellikle Euler-Lagrange veya Newton-Euler tabanlı formülasyonlar kullanılır. Euler-Lagrange tabanlı bir modellemede enerjiye bağlı lagrange fonksiyonları oluşturulurken birbirine eklemlerle bağlı gövdelere ait hızların aktarımının global koordinat eksenine göre hesaplanabilmesi gerekmektedir. Diğer yandan Newton-Euler tabanlı modellemede ise, gövdelere ait hızların ve kuvvetlerin global koordinat eksenine göre hesaplanması gerekmektedir. İki yaklaşımda da yaygın olarak kullanılan metod, eklem noktalarında tanımlanmış koordinat eksenleri ve bu eksenler arası rotasyon matrislerinin hesaplanarak gövdelere ait hız veya kuvvetlerin global koordinat eksenine göre ifade edilmesidir. Bu noktadan hareketle yine seri topolojiye sahip bir sistem için gövdeler arasındaki bağlantı tek düze olduğundan yukarıdaki işlemler herhangi bir graf metodu olmadan hesaplanabilir. Ancak ağaç topolojisi veya kapalı zincir içeren kompleks sistemler için sistematik bir yapının kurulmasında graf tabanlı yaklaşımlar büyük önem kazanmaktadır. Tez kapsamında çoklu gövdeli sistemlerin modellenebilmesine yönelik konfigürasyon zamanının ve modelleme hatalarının azaltılmasına olanak sağlayacak bir modelleme ortamının oluşturulması hedeflenmiştir. Oluşturulan modelleme ortamında gövdeler arasındaki bağlantıları ifade eden graf teori tabanlı bir yaklaşım geliştirilmiş, ve bu yaklaşımla özellikle ağaç topolojisi ve kapalı zincir içeren sistemlerin dinamik modeli sistematik bir şekilde elde edilmiştir. Kompleks yapıdaki çoklu gövdeli sistemler seri, ağaç topolojisi ve kapalı kinematik zincir sistemlerinin farklı kombinasyonlarından oluşabilmektedir. Bu tip sistemlerin benzetimi sadece kodların yürütme zamanı bakımından değil aynı zamanda sisteme ilişkin model ve kısıtların tanımlanması bakımından da maliyetli bir süreçtir. Çoklu gövdeli sistemlerde, gövdeler arasındaki bağlantılar ve bu bağlantıdaki kısıtları belirleyen eklemlerin değişik varyasyonlarda kullanılmasıyla farklı topolojiler elde edilebilir. Bu tez kapsamında, kompleks yapıdaki çoklu gövdeli sistemlerin modellenmesine yönelik Lineer Graf Teorisi tabanlı Yol Tanımlı Yönlendirilmiş Graf Vektörü (Pgraph) metodu geliştirilmiştir. Bu metot özellikle bilateral ve lateral kısıt kuvvetlerinin koşullu olarak sisteme dahil olduğu topolojisi aktif olarak değişebilen sistemlerin dinamik modelinin elde edilmesinde konfigürasyon zamanı ve modelleme hatalarının en aza indirilmesi bakımından büyük bir fayda sağlayacaktır. Metot, literatürde yer alan birçok dinamik modelleme algoritmasına uygulanabilecek genel bir yaklaşım olmasına rağmen, bu tez kapsamında Newton-Euler formalizmine dayanan ve özyinelemeli bir algoritma olan Uzaysal Vektör Cebri (UVC) yöntemine uygulanarak açıklanmıştır. Yine yöntem, literatürde çoklu gövdeli sistemlerin kinematik ve dinamik analizinde gövde koordinat eksenlerine ait homojen transformasyon matrislerinin hesaplanmasında yoğun olarak kullanılan Denavit-Hartenberg yönteminin kompleks yapıdaki sistemlere çok daha rahat uygulanabilmesine olanak sağlamıştır.\\ Tez kapsamında ele alınan diğer bir konu ise, çoklu gövdeli sistemlerde harici kısıt kuvvetlerinin etkin bir şekilde hesaplanabilmesidir. Harici lateral kısıt kuvvetlerinin hesaplanmasına yönelik tekerlekli kara araçları ele alınarak, tekerlekler ve yer arsaındaki etkileşimli kuvvetler geliştirilen metotla hesaplanmıştır. Etkileşimli kuvvetlerin gerçek zamanlı olarak etkin bir şekilde hesaplanabilmesi otonom veya otonom olmayan yer araçlarının devrilmeye karşı kontrolünde büyük önem arz etmektedir. Etkileşimli kuvvetler öncelikle tekerlek dinamiğinde ele alınmış ve harici kısıt kuvvetleri hareket denklemine moduler bir yapıda dahil edilmiştir. Harici kısıt kuvvetleri tekerleğin kayma olmadan ilerlediği durum için noktasal kontak tanımlanarak hesaplanmıştır. Kontak noktasındaki sürtünme kuvvetleri, yol ve tekerleğe ait karakteristik parametrelere bağlı olarak sisteme dahil edilebilir. Tanımlanan kısıtların modüler olması sayesinde tek tekerlek için geliştirilmiş model, iki veya daha fazla tekerlekli sistemlere rahatlıkla uygulanabilmiştir. İki tekerlekli yer aracına örnek olarak bisiklet dinamiği ele alınarak, yer ve bisiklet tekerlekleri arasındaki etkileşimli kuvvetler bisiklete uygulanan farklı eyleyici kuvvetler olması durumunda hesaplanmıştır. Yer araçları kapsamında ele alınan diğer bir örnek, kamyon ve treyler sistemidir. Bu sistem hem topoloji olarak ağaç yapısında olması hem de çok sayıda tekerleğe sahip olması açısından geliştirilen modelleme ortamının potansiyelini göstermektedir. Modelleme ortamının oluşturulmasında önemli diğer bir konu ise, farklı topolojilere sahip sistemlerin dinamik analizinin daha iyi yapılabilmesini sağlayacak 3D ortamda görselleştirme çalışmalarıdır. Pgraph metodu görselleştirmenin de otomatik olarak yapılabilmesini sağlamaktadır. Hem 3D CAD çizimlerinin hem de temsili 3D şekillerin, Pgraph vektörü ile beraber model konfigürasyonuna giriş olarak verilmesi ile sistemin 3D ortamda otomatik olarak oluşturulabilmesi sağlanmıştır. Tez kapsamında 3D ortamın oluşturulmasında alt yapı olarak MATLAB yazılımında yer alan "3D Animation Toolbox" kullanılmasına rağmen, geliştirilen algoritma yine popüler bir ortam olan ROS (Robot Operating System) ortamı ve benzeri ortamlara da entegre edilebilir. Tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde çoklu gövdeli sistemlerin modellenmesine yönelik literatürdeki mevcut çalışmaların özeti verilmiş, tezin amacı ve motivasyonu ifade edilmiştir. İkinci bölümde sistemlerin graf gösterimi sunulmuş, Uzaysal Vektör Cebri yöntemi (UVC) Lineer Graf Teorisi ile birlikte verilmiştir. Sonrasında Yol Tanımlı ve Yönlü Grafik Vektörü (Pgraph) metodu UVC yöntemine uygulanarak açıklanmıştır. Üçüncü bölümde çoklu gövdeli sistemlerin harici kısıt kuvvetleri altındaki hareket denklemi analiz edilmiştir. Dördüncü bölümde geliştirilen metot ve algoritmaların daha iyi anlaşılabilmesini sağlayacak örnek sistemlerin modelleme çalışmaları ve benzetim sonuçları verilmiştir. Beşinci bölümde ise sonuç değerlendirmeleri ve öneriler verilmiştir.