q-lineerlik ve q-lineer diferansiyel denklemler

Fen bilimleri ve mühendislikte, birçok olayın açıklanmasına yardımcı olmak üzere, matematiksel formüller veya matematiksel modeller geliştirilir. Bu modeller, bir bilinmeyen fonksiyon ve bu fonksiyonun bazı türevlerini içeren bir denklem olarak ortaya çıkar. Bu tür denklemlere diferansiyel denklemler denmektedir.Diferansiyel denklemler; matematik, doğal bilimler, tıp ve mühendislikte yaygın bir kullanıma sahip analizin temel bir dalıdır. Diferansiyel denklemler vasıtasıyla bu uygulamalar kolayca çözüme kavuşabilmektedir. Ayrıca günümüzde diferansiyel denklemler ve diferansiyel denklem sistemlerinin çözümleri, bilgisayar ortamında, değişik programlar yardımı ile bulunabilmektedir. Burada hedeflenen aslında analitik çözüm ile bilgisayar ortamındaki çözüm arasında karşılaştırma yapma imkanı sunulmaktadır.Diferansiyel denklemlerin en önemli alt kollarından biri olan lineer diferansiyel denklemler, diferansiyel denklemlerin uygulaması ve çözümünde çok önemli bir paya sahiptir. Ayrıca çözümlerin özellikleri, çözümlerin elde edilmesi için gerekli tanım ve teoremler önemli rol oynamaktadır.Lineer diferansiyel denklemlerin çözümlerinin bulunmasında öncelikle sistematik bir düzen şeklinde çözüm aranmalıdır. Verilen lineer diferansiyel denklemde ilk olarak homojen olup olmadığı gözlemlenir. Sonrasında eğer diferansiyel denklem homojen ise homojen kısım çözümü bulunur. Bu aşamada diferansiyel denklemin katsayıları bize yol göstermektedir. Burada diferansiyel denklemin sabit katsayılı ve değişken katsayılı olma durumu göz önüne alınmaktadır. Belirtilen denklemin birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem olması halinde çözüm metodları uygulanmaktadır. Değişkenlerine ayrılabilir denklemler,tam diferansiyel denklemler, integral çarpan metodu bu yöntemlerden bazılarıdır. İkinci mertebeden veya daha yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin çözümü ise katsayılar bazında incelendiğinde bize büyük bir kolaylık sağlamaktadır. Verilen denklem sabit katsayılı ve homojen olduğunda pratik çözüm yöntemi olan karakteristik forma dönüştürüp bulunabilmektedir. Fakat değişken katsayılı olduğunda bu durum bize aynı kolaylığı sağlamayabilir. Yani bu denklemler birkaç özel denklem sınıfı dışında, cebirsel yöntemlerle çözülemez ve çözümleri elementer fonksiyonlar cinsinden ifade edilemez. Bu denklemleri çözmek için genel bir yöntem olan kuvvet serileri yöntemi ile çözüm aranmaktadır. Bu yöntem ikinci mertebeden homojen lineer diferansiyel denklemler için verilmektedir. Bu çalışmada buraya kadar olan kısmın kuantum analize benzer notasyonu incelenecektir. Quantum calculus genellikle limit notasyonu olmaksızın türev olarak bilinmektedir. Quantum calculus'un geçmişi 1400 lü yıllara Leonhard Euler'e kadar uzanmaktadır. Quantum calculus q-benzeri ve h-benzeri olmak üzere iki ana kola sahiptir. Bu çalışma da q-benzer ifadesiyle ilgilenilecektir. Quantum calculus da elde edilen formüller 18.yy'da ortaya çıkmıştır. Modern anlamda q-analizinin başlangıcı ise 1910 yılında Jackson tarafından yayımlanmış olan q-Jackson integrali sayılabilir.Sonrasında ise Victor Kac ve Pokmen Cheung tarafından q-gama ve q-beta fonksiyonlarının integral temsilleri ele alınmıştır. Günümüzde uygulamalı matematiğin özel fonksiyonları q-calculus'un yeni bir uygulama alanıdır. Özellikle Sturm-Liouville problemleri bu alanda pek çok uygulaması olan bir konu olduğu görülmektedir.Analizdeki bazı temel ifadelerin diferansiyel, türev, integral gibi tanımların quantum calculus da q-diferansiyel,q-türev,q-integral olduğu ortaya konmuştur. Benzer şekilde klasik analizde türev tanımdan karşıt türev elde edildiği gibi quantum analizde de q-türevden q-antitürev,q-integralden q-belirli integral elde edilmiştir. Ayrıca bu çalışmada sıkca yer verilen exponansiyel fonksiyonun q-benzeri ifadesinin de quantum calculusda pratik çözümler ortaya koyduğu görülmüştür. Bu tezde klasik diferansiyel denklemlerin bir alt kolu olan lineer diferansiyel denklemlerin lineerlik şartı, yeni bir paradigma çerçevesinde q-Analiz bağlamında incelenmiştir. Öncelikle bu çalışmamız beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde bu tez için gerekli olan analiz, diferansiyel denklemler ve q-analizin tarihçesinden bahsedilmiş, geçmişten günümüze kadar nasıl ilerlediği ve birbirleri arasında nasıl köprüler kurulduğu ele alınmıştır. İkinci bölümde ise analiz ve q-analiz için gerekli tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Daha sonra üçüncü bölümde q-lineerlik şartları tespit edilmiş; q-lineer diferansiyel denklemlerin n. mertebeden en genel hali; a_0 (x) D_q^n y(x)+a_1 (x) D_q^(n-1) y(x)+a_n (x)y(x)=Q(x) şeklinde ifade edilmiştir. Burada a_0,a_1,a_2,…,a_n fonksiyonları denklemin katsayılarını ifade etmektedir. Yukarıda bahsedilen denklemin önce birinci mertebeden ve Q(x)=0 olması halinde, yani sabit katsayılı ve değişken katsayılı homojen q-lineer diferansiyel denkleminin genel ifadelerinden bahsedilmiştir. Ayrıca çözüm yöntemleri değerlendirilmiş, bu çerçevede hangi yöntemlerin işlevsel olup olmadığı incelenmiştir. Buna göre katsayılar bazında ele aldığımızda; değişken katsayılı homojen q-lineer diferansiyel denklemlerden bazı tiplerin q-tam diferansiyel denklem vasıtasıyla çözümü incelenmiştir. Benzer şekilde klasik lineer diferansiyel denklemin çözüm yöntemlerinden biri olan integral çarpanı yöntemi q-analizde q-integral çarpanı olarak kullanılırken; bu yöntemin q-lineer diferansiyel denklemin çözümünde karşılığının olup olmadığı araştırılmıştır. Üçüncü yöntem olarak diferansiyel denklemlerde kuvvet serileri ile çözüm yönteminin q-Analizde q-kuvvet serileri ile çözüm yöntemi tespit incelenmiştir. Sonrasında Q(x)≠0 olması durumunda yani homojen olmayan q-lineer diferansiyel denkleminin çözümü, klasik lineer diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemlerinden biri olan parametrelerin değişimi metodu yani q-Analizde q-parametrelerin değişimi yöntemi ile incelenmiştir. Dördüncü bölümde yüksek mertebeden sabit katsayılı homojen q-lineer diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemleri araştırılmıştır. Bu yöntemlerden biri ise klasik diferansiyel denklemlerden; yüksek mertebeden sabit katsaylı lineer diferansiyel denklemlerin homojen kısmının çözüm yöntemi olan karakteristik polinoma dönüştürme metodudur. Diğer yöntem ise yukarıda belirtilen en genel n. mertebeden q-lineer diferansiyel denklemin n=2 olması halinde, bir önceki bölümde incelenen q-kuvvet serileri ile çözüm aranmıştır. Son bölüm olan beşinci yani sonuç kısmında ise yapılan araştırmalar ve incelemeler sonucunda hangi yöntemin daha işlevsel olduğu tespit edilmiş ve öneriler sunulmuştur.