Regresyonda kalıntı (residual) analizi

Regresyon analizi, sebep-sonuç ilişkisi bulunan iki veya daha fasla değişken arasındaki ilişkiyi saptamada uygulanan istatistik yöntemlerden birisidir. Gözlem çiftlerini en iyi temsil eden regresyon doğrusunun aşağıdaki gibi olduğunu varsayalım. yi = a+p3q (1) Burada a ve B sırasıyla a ve B parametrelerinin tahminlerini^ bağımsız değişkeni ve y'de bağımlı değişkeni göstermekte olup x'iri değeri verildiğinde y'nın ortalama olarak değeri bulunabilmektedir. Regresyon analizinde amaç tahmin yapmanın yanısıra gözlem çiftlerini en iyi temsil eden regresyon eşitliğini bulmaktır. Bu da kalıntı analizinin konusunu oluşturur. Çünkü bir kalıntı analizi, tahmin edilen eşitlik ile veri arasındaki uyumu veya uyumsuzluğu ortaya kovan bir analiz şeklidir. Aynı zamanda kalıntı analizi, tahmin eşitliğinin verilere uygunluğunun istatistik olarak belirlenmesinden sonra tahmini değer ile gözlemler arasındaki farklılıkların dikkatli bir şekilde incelenmesini ve verilerdeki zayıf parametre tahminlere neden olan herhangi bir anormalliğin tespit -edilmesini de sağlar (Cook ve Weisberg, 1982). Kalıntı analizi doğrusal regresyon modelleri yanında doğrusal olmayan regresyon modelleri ve varyans analizinde de kullanılabilmektedir. Gerçekte uydurulmuş herhangi bir modelin uygulanması ve tir grup veri için açıklanamayan-67- varyasyonun ölçülmesi konularının incelenmesi için de yararlıdır (Draper ye Smith, 1981). Uydurulan bir modelin doğru olup olmadığım kontrol için bazı kalıntı test metotları uygulanır. Bu metotlar içinde çoğunlukla tahminler doğru olmadığında bunu genelde açığa çıkaran ve yapılması kolay olan grafik metotlar kullanılır. Bu nedenle bizde bu çalışmada grafik metotları incelenmiştir. Regresyon analizinde kalıntıyı oluşturan önemli ayrılış tipleri şunlardır. 1) Anormal gözlemlerin varlığı 2} İlgisiz faktörlerin bulunması; model (1.1)' den çıkarılır ve bu faktörlerin seviyelerine karşı kalıntı grafikleri oluşturularak incelenebilir. 3) Model (1.1) "e dahil edilen bir faktörle doğrusal olmayan bir ilişkinin bulunması; Yamy'=a+|3x gibi bir,A #\.A. ilişki yerine y= o: +ps2 gibi bir ilişkinin olması; Bu ilişki, faktörün seviyelerine karşı çizilen.kalıntı. grafiği ve. elde edilen ilişki eğrisi ile incelenebilir. 4) Farklı ej '1er arasında ilişki (korelasyon) bulunması; Bu faktör kısmi kalıntı analizi veya kalıntı peryod grafiklerinde incelenebilir. 5) Varyansın sabit olmaması; Bu durum kalıntıların veya karelerinin uydurulmuş değerlere veya varyansı etkileyen faktörlere karşı grafikleri çizilerek incelenebilir. 6) ej'lerin normal dağılım göstermemesi ; bu durum sıralı kalıntıların standart normal dağılımdan beklenen sıralı istatistiklere karşı grafikleri oluşturularak incelenebilir. Bu çalışmanın amacı, kalıntı analizinde uygulanan özellikle grafiksel metotlar kullanılarak, verileri temsil edebilecek en uygun modeli, daha gerçekçi bir yaklaşımla grafiksel analizler kullanılarak kalıntı analizleri ile birlikte-68- regresyon uygulamalarım yapmanın sağladığı faydalan karşılaştırmalı olarak göstermektir. Bu çalışmada materyal olarak Ç.Ü. Ziraat Fakültesi Döner Sermaye İşletmesindeki Ost-Frizsîvesi ırkı 36 koyuna ait birer hafta ara ile 9 hafta süreyle alınan solunum sayısı(dk), nabız Sayısı (dk) delerlerinin ortalamaları ve laktasyon süt verimleri (kg/koyun) kullanılmıştır. Analizlerde aşağıda verilen hesaplama şekillerine göre farklı üç tip kalıntı incelenmiştir. Bunlar; 1. Basit (ordinary) kalıntılar ; ej = yi - yi, (2) 2. Standart kalıntılar ; rj = ei/Sei, (3) A 3. Kısmi (partial) kalıntılar ; ej*= e + xjSj (4) Materyalde verilen solunum sayısı sj, nabız sayısı Sg, süt verimleri ise bağımlı değişken y olarak alınır ve en küçük kareler regression doğrusu tahmin edilirse, A yi = 226-1.22 xj - 0. 034 x2 (5) olur ve yi = 226 - 1.22 xt - 0.034 x2 + ei (6) eşitliği elde edilir. Regresyon katsayısının önem kontrolü için yapılan varyans analiz sonuçlarına göre, koyunların süt verimleri ile solunum sayısı veya nabız sayısı arasındaki azalış istatistik bakımdan önemlidir(p < 0.01). Fakat örneğe ait R2 = % 55.69 olup yüksek bâr değer sayılmaz. Yani koyunların dakikadaki solunum sayılan ve nabız sayılan laktasyon süt verimlerindeki-69- varyasyonun ancak % 55.6'sını açıklayabilmektedir. Regresyon önemli olduğu halde R2'nin yüksek çıkmaması, gözlemler içerisinde anormal gözlemlerin olabileceğini gösterir. Eğer gözlemler içerisinde anormal gözlemler varsa bunu ortaya çıkarmanın bir yolu kalıntı analizi yapmaktır. Yapılan değişken eleme testi sonucu koyunlarda dakikadaki nabız sayısının süt verimine önemli bir etkisi olmadığı yani süt verimlerindeki varyasyonun önemsiz bir kısmım oluşturduğu görülmüştür. Diğer bir deyişle sadece dakikadaki solunum sayısı Y'deki açıklanabilen varyasyonun büyük bir kısmını açıklayabilmektedir. Bu nedenle bu çalışmada dakikadaki solunum sayısı (x) ile laktasyon süt verimleri (y) arasındaki ilişkiyi gösteren regresyon- modeli üzerinde çalışılmıştır. Uydurulan bu yeni model ise, yi = 225- 1.22 xt (?) dir ve yapılan varyans analizi sonucuna göre yine solunum sayısı ile laktasyon süt verimleri arasındaki regresyon katsayısı önemli bulunmuştur (p<0.01). Uydurulan bu eşitlik yardımıyla, 1) (2) nolu eşitlik kullanılarak basit, kalıntı değerleri hesaplanmıştır. Hesaplanan bu değerler daha sonra, - Kalıntıların tümünün grafiği, - Eğer sıralama biliniyorsa kalıntıları zaman serisinde gösterme, - Uydurulan yj değerlerine karşı grafik çizme, - j=l,2,...J,k için bağımsız %$ değişkenlerine karsı grafik çizilerek incelenmiştir. Sonuçta, örneğe ait var yansın sabit olmadığı, bu nedenle- en küçük kareler yöntemi yerine. tartılı en küçük kareler yöntemi uygulanması veya gözlemlerde analizden önce bir transformasyon yapılması gerektiği görülmüştür.2) (7) nolu eşitlikten elde edilen tahmini delerlerden (3) sayılı formül yardımıyla standart kalıntı değerleri hesaplanmış ve bu değerlerin önce serpme grafiği daha sonra da normal grafikleri oluşturarak kalıntılaran normalik varsayımının mevcut. olup olmadıkının kontrolünde kullanılmıştır. Örneğimizde bu grafiker incelendiğinde normalliği bozan bir gözlemin olduğu görülmüştür. 3) (5) nolu eşitlikten elde edilen tahmini değerlerden (4) sayılı formül yardımıyla kısmi kalıntı değerleri hesaplanmış ve grafikleri incelenmiştir. Grafikler dikkatli, bir şekilde incelendiğinde varyansın xj ile birlikte önce artıp sonra azaldığı,. X2 ^8 birlikte sürekli arttığı görüşmüştür Dolayısıyla varyans sabit olmayıp bu varsayım bu örnek için mevcut değildir. Bu durumda ise tartılı en küçük kareler yöntemi uygulanmalıdır Ayrıca xg için düzeltilen bağımlı değişken y, xj ile kuvvetli bir negatif korelasyon içerisinde olduğu, Xı için düzeltilen y ise X2 ile sadece zayıf bir negatif korelasyona sahip olduğu görülmüştür. Diğer bir ifade ile xi'in y üzerinde oldukça yüksek bir azalış, x^.'nin ise oldukça düşük bir azalışa neden olduğunu göstermektedirler.