Banach uzay değerli fonksiyon sınıflarında agranovıch-vıshık tipli eliptik operatörlerin ayrılabilirlik özellikleri

Bu çalışmanın temel amacı, vektör değerli fonksiyon uzaylarındaki n-1 boyutlu düzgün sınırlı Γ є R^(n-1) eliptik denklemler için sırasıyla R^n Öklid uzayı ve R^n_+ yarı uzayı ile Ω sınırlı bölgesindeki sınır değer problemlerini ele almaktır. Başka bir değişle, asıl göstermek istediğimiz, düzgün n-1 boyutlu sınırı olan Ω є R^n sınırlı bölgesinde, bir q parametresine bağlı genel eliptik problemlerin ayrılabilirlik özelliklerini (maksimal regülerlik özelliklerini) değerlendirmektir. Tezde ele alınan problem, aşağıdaki şeklinde ifade edilen, bir q kompleks parametresine bağlı genel eliptik problemdir: A(x,D,q)u = f (x) B_j(x_0,D,q)u_j|_Γ = g_j(x_0). q parametresi, argümanı kapalı bir aralıkta değişen bir kompleks sayıdır. Buradaki katsayılar, düzgün olarak x'e bağlı kompleks değerli sürekli fonksiyonlardır. 2m, A diferansiyel denkleminin mertebesini; m_j ise B_j diferansiyel denkleminin mertebesini ifade eder. Burada m_j ler m den büyük olamaz. Problemin çözümü farklı uzaylar için farklılık gösterebilir. Agranovich-Vishik bu problemi kompleks değerli Sobolev uzaylarında inceledi. Biz master tezinde W^(l,2)(Ω;H) Hilbert değerli Sobolev uzaylarındaki eliptik problemlerin maksimal regülerlik özellikleri göstermiştik. Şimdi bunu W^(l,p)(Ω;E) Banach değerli Sobolev uzaylarına genişlendirdik ve burada E'yi UMD uzayı olarak seçtik. Yani problemin çözümünün varlığını ve tekliğini irdeledik. Bunun için de aşağıdaki kestirimi (estimate) kullandık: ‖u‖_l+|q|^l ‖u‖_0 ≤c{‖f‖_(l-2m)+|q|^(l-2m) ‖f‖_0+∑_(j=1)^m ‖g_j‖_(l-m_j-1/p)^'+|q|^(l-m_j-1/p) ‖g_j‖_0^'} ≤C{‖u‖_l+|q|^l ‖u‖_0 }. İki taraflı bu kestirimde ilk eşitsizlik coercive estimate olarak isimlendiriliyor. Temel amacımız bu eşitsizliği sağlatmaktır. İkinci eşitsizlik ise bize diferansiyel operatörün sınırlı olduğunu göstermiş oluyor. Bu eşitsizlik bize yukarıdali eliptik problemin çözümünün tekliğini garanti ediyor. Tam ortasında ||u||_0 terimini içeren aşağıdaki kestirimi ele alalım: ‖u‖_l ≤ c{‖f‖_(l-2m)+∑_(j=1)^m ‖g_j‖_(l-m_j-1/p)^'‖u‖_0} ≤ C‖u‖_l. Bu kestirim ise genel eliptik problemin f = 0 oldu˘gu durumda çözüm uzayının sonlu olduğu sonucunu verir. Herhangi f , g_j için ve modülü yeterince geniş seçilen q parametresi için çözümün varlığının ispatını gerçekleştirmede problemin sağ tarafı için bazı ek koşullara ihtiyaç vardır. Bu koullar çalışma içinde Koşul I ve Koşul II olarak isimlendirildi. Koşul I olarak adlandırdığımız kısıt q = 0 için elliptiklik koşulu olarak bilinen, ve Koşul II olarak adlandırdığımız kısıt ise q = 0 için ¸ Saphiro-Lopatinskii koşulu olarak bilinen koşullardır. Her bir koşul kendi bölümündeki teoremlerle alakalı olduğundan ve karışıklık yaratmadığı için bu koşulların isimleri her bir bölümde aynı şekilde yazıldı. Üzerinde çalışılan uzaydaki fonksiyonların değer kümelerinin farklılığının önemi kadar tanım kümeleri de önem arzediyor. Çünkü çalışmadaki teoremlerin ispatlarına tanım kümelerinin şekli yön veriyor. Dolayısıyla kestirim üç ayrı uzayda ayrı ayrı değerlendirildi. Bu nedenle problem sırasıyla R^n, R^n_+ ve Ω sınırlı bölgesinde incelendi. Yani kestirimin önce W^(l,p)(R^n;E), sonra W^(l,p)(R^n+;E) ve son olarak W^(l,p)(Ω;E) uzaylarında sağlandığı gösterildi. İlk olarak, R^n Öklid uzayı ve R^n_+ yarı uzaydaki Banach değerli Sobolev sınıflarındaki kompleks parametreli eliptik problemlerin maksimal regülerlik özellikleri incelendi. Daha sonra, düzgün sınıra haiz bir sınırlı bölgedeki parametreye bağlı genel eliptik problemlerin ayrılabilirlik özellikleri analiz edildi. Öncelikle R^n de Koşul I, Genelleştirilmiş Fourier dönüşümü ve Fourier Multiplier kullanılarak kestirimin sağlandığı gösterildi. Daha sonra R^n_+ yarı uzayında Koşul I, Koşul II, Fourier dönüşümü ve trace teoremi kullanılarak kestirimin varlığı ispatlandı. Son olarak, sınırlı bölge için R^n ve R^n_+ için kullanılan bilgilere ek olarak birimin parçalanışı (partition of unity), mikro-lokal analiz ve Mikhlin multiplier teori kullanılarak çalışma tamamlandırılmış oldu. Bu çalışmada ele alınan değerler uzayı Hilbert uzayından daha geniş bir uzay olduğundan kullanılan araçlar da farklılık göstermiş oldu. Ayrıca, Agranovich-Vishik in makalesinde sıklıkla kullanılan interpolasyon eşitsizliği burada mümkün olduğunca daha az kullanıldı. Onun yerine, daha güncel bir araç olan Mikhlin multiplier teoremi kullanıldı. Tezin giriş kısmında temel tanım ve ifadeler, Sobolev uzayı ve Besov uzayının tanımı ve bu uzaylardaki bazı gerekli teoremler verildi. Bu teoremlerin bazıları ise Banach değerli sobolev uzayları için ilk kez ifade edildiklerinden ispatlı verildi. Buradaki diferansiyet denklemlerdeki türev genelleştirilmiş türevdir. Dolayısıyla çözüm de zayıf çözüm olarak ifade edilir. Genelleştirilmiş türev, zayıf çözüm ve test fonksiyonları bu çalışmanın en temel araçları ve çok bilinen ifadeler olduğundan burada tanımlarına yer verilmedi ancak, dileyen okuyucu bu kavramların tanımları için benim master tezime yada bu konularla alakalı çalışma kitaplarına başvurabilirler.