Symmetric chain decompositions

$ P_n $, Boolean kısmi sıralı kümesinin dihedral grup $ D_n $ altındaki etkisiyle oluşan kısmi sıralı küme olsun. \cite{duffus2015symmetric}'de Duffus ve Thayer, $ P_n $ kısmi sıralı kümesinin bir simetrik doymuş zincir ayrışmasına sahip olup olmadığı sorusunu ortaya attı. Bu tezde, küçük boyutlar için bu soruya olumlu bir cevap vereceğiz. Bunun için, ilk olarak kısmi sıralı bir kümenin simetrik doymuş zincir ayrışmasını tanıtacağız. Sonrasında P ve Q kısmi sıralı kümelerinin birer simetrik doymuş zincir ayrışmasi varsa, direkt çarpım $P\times Q$'nun da bir simetrik doymuş zincir ayrışması olduğunu göstereceğiz. Ardından Sperner özelliğini tanıtacağız ve bir kısmi sıralı kümenin simetrik doymuş zincir ayrışması varsa, o zaman Sperner özelliğine sahip olduğunu göstereceğiz. Her bölüm kısmi sıralı kümesinin simetrik doymuş zincir ayrışmasına sahip olduğunu göstereceğiz. Elemanları, toplamları pozitif bir $ n $ tamsayısına eşit olan pozitif tam sayılardan oluşan kısmi sıralı kümesine bir minimal eleman ekleyerek oluşturulan kısmi sıralı küme $ \tilde{Q}_n $ olsun. $ P_n $ kısmi sıralı kümesi ile $ \tilde{Q}_n/D_n $ kısmi sıralı kümesi arasında bir izomorfizm vererek tezi sonlandıracağız. Ayrıca, $ n=5,6,7,8 $ için $ P_n $'in simetrik doymuş zincir ayrışmalarına örnekler vereceğiz.