Çoklu zaman gecikmeli sistemlerin kararlılık analizi ve gecikme tabanlı filtre tasarımı

Zaman gecikmesi; mühendislik sistemlerinde ve biyolojik, kimyasal, fiziksel doğal süreçlerde sıkça karşılaşılan bir olgudur. Herhangi andaki durumlarının değeri, sadece o andaki durum değerlerine bağlı olmayıp, o andan önceki durum değerlerine de bağlı olarak ifade edilen sistemlere "zaman gecikmeli sistemler" denir. Sistemlerde sürecin doğası gereği zaman gecikmeleri bulunabilirken; bazı mühendislik sistemlerinde ise iyi bir performans elde etmek veya sistemi kararlılaştırmak için kasıtlı olarak sisteme gecikme eklenebilir. Zaman gecikmeli sistemlerle biyoloji, kimya, endüstriyel üretim, ekoloji gibi birçok alanda karşılaşılmaktadır. Ayrıca, çeşitli makinalar, ölçme ve haberleşmenin olduğu mühendislik sistemleri, dinamik yapıları ve fiziksel özellikleri gereği gecikmeler içermektedir. Örneğin, kimyasal tepkimelerin ve bir hat boyunca kütle taşınmasının olduğu süreçlerde zaman gecikmelerine rastlamak kaçınılmazdır. pH kontrolü ve çok tanklı sıvı seviye kontrol sistemleri bu süreçlere örnek teşkil eder. Kan şekeri dengesi, kandaki hormonsal denge, beyin motor kontrolüne bağlı tepki verme, miyelojen lösemisinin dinamiği gibi biyolojik süreçlerde zaman gecikmeleri önemli rol oynamaktadır. Trafik akışı, tedarik zinciri, üretim planlaması gibi süreçlerde zaman gecikmeleri, süreç karakteristiklerini belirleyen etkin parametrelerdir. Bilgisayar ağının olduğu büyük ölçekli kontrol yapılarında haberleşme gecikmeleri ile başa çıkabilmek zorunludur. Genellikle internet aracılığıyla uzaktan kontrol edilen sistemlerde, insansız araçlarda, haptik cihazlarda zaman gecikmesi göz ardı edilemez. Zaman gecikmesi, frezeleme makinasının kesme süreci modelinde bıçağın bir dişinin aynı konumdan geçme periyodu iken, içten yanmalı motorlarda yanma olayının doğal bir dinamiği olarak karşımıza çıkmaktadır. Öte yandan, gecikmesiz sistemlerde kontrol performansını iyileştirmek üzere, işaret ve sistemlere yapay gecikmeler eklenerek gecikme tabanlı kontrol yöntemleri geliştirilmiştir. Örneğin, Gecikmeli Rezonatör yaklaşımı, endüstride kullanılan tezgahların ve makinelerin titreşimlerini bastırmada kullanılan bir gecikme tabanlı aktif sönümleyici tasarımıdır. Benzer şekilde, işaret düzleştiriciler (command smoothing filters -- smoothers) ya da giriş şekillendiriciler (input shapers) olarak da adlandırılan gecikme tabanlı filtreler; vinç, robot manipülatörleri veya uçak kanadı gibi esnek (flexible) sistemlerin konum-hız yörüngelerinin oluşturulmasında ya da geri-beslemeli kontrolünde esnek kısmın salınımlarının bastırılması amacı ile sıkça kullanılmaktadır. Ayrıca, kaotik sistemlerin yörünge kontrolü, belirsiz sistem dinamiklerin üstesinden gelme gibi problemlerde gecikme tabanlı yaklaşımlar ortaya konmuştur. Bu tezdeki çalışmalar iki ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm zaman gecikmeli sistemlerin kararlılığı üzerineyken, ikinci bölümde gecikme tabanlı filtre tasarımına odaklanılmıştır. Zaman gecikmeli sistemlerin kararlılık problemi, temel olarak, gecikmeden-bağımsız (delay-independent) ve gecikmeye-bağımlı (delay-dependent) kararlılık tanımlamasıyla ele alınmaktadır. Gecikmeden-bağımsız kararlı olma durumu, zaman gecikmesinin sıfır ve sonsuz arasında herhangi bir değer alması durumundaki sistem kararlığını ifade ederken; gecikmeye-bağımlı kararlılık, gecikmenin sonsuzdan küçük belli değerler arasında olması durumunda sistemin kararlılığını ifade etmektedir. Birinci bölümde, ilk olarak, nokta-tabanlı (pointwise) zaman gecikmeleri içeren sistemlerin gecikmeden-bağımsız kararlılığının incelenmesi için bir yöntem geliştirilmiştir. Önerilen yöntemde, tek zaman gecikmeli ve daha önemlisi çoklu zaman gecikmeli, doğrusal zamanla değişmeyen sistemler için gerek ve yeter koşullar verilmiştir. Çoklu zaman gecikmeli sistemler, sistemin bir veya birden fazla durumunda, birden fazla birbirinden bağımsız (incommensurate) gecikmenin gözlendiği sistemlerdir. Yapıları gereğiyle, bu sistemlerin kararlılık analizi ve kontrolör tasarımı ``NP-Hard'' problem olarak tanımlanmıştır. Önerilen yöntem, sistemlerin gecikmeden-bağımsız kararlılılığını sınama yetisine sahip olmakla birlikte, bilinmeyen sistem ya da kontrolör parametrelerinin, sistemi gecikmeden-bağımsız kararlı kılan kesin (non-conservative) bölgelerinin bulunmasına da olanak sağlamaktadır. Yöntemin temeli, sistem matrislerine Kronecker toplamı uygulanmasıyla bulunan matrisin determinantından elde edilen bir yardımcı karakteristik polinomun birim çember üzerinde köklerinin olmamasına dayanmaktadır. Sistemin gecikmeden-bağımsız kararlılığının belirlenmesi için; yardımcı polinomun kendine-tersinir (self-inversive) olma özelliği ve etkili bir polinom kökü yer testi kullanılarak, polinom köklerinin birim çembere göre yerinin incelenmesi temel alınmıştır. Yöntem, yardımcı polinomdan basit cebrik işlemlerle elde edilen elemanlardan oluşan bir dizideki işaret değişimi sayısının belirlenmesi ile uygulanmaktadır. Tek zaman gecikmeli sistemler için, bilinmeyen parametreler olması durumunda dahi, parametre (frekans) taramasına, denklem çözmeye ve nokta-bazlı test işlemlerine gerek duyulmamaktadır. Çoklu zaman gecikmeli sistemlerin gecikmeden-bağımsız kararlılığının belirlenmesi için ise, $p$ adet gecikme olması durumunda, ($p-2$) adet ajan parametrenin $[0,2\pi]$ aralığında ve bir ajan parametrenin $[0,\pi]$ aralığında taranması ihtiyacı ortaya çıkmaktadır. Ancak, herhangi bir denklem çözümü gerekmemektedir. Çoklu gecikme varlığında, gecikmeden-bağımsız kararlı kılan bilinmeyen parametre bölgelerinin bulunması için bir projeksiyon yaklaşımı sunulmuştur. Önerilen yöntemle, PD tipi kontrolör uygulanan ikinci mertebeden tek gecikmeli bir sistemin, gecikmeden-bağımsız kararlı olmasını sağlayan tüm sistem ve kontrolör parametrelerinin analitik ifadesi verilmiştir. Ayrıca, ele alınan iki ve üç gecikmeli iki sistemin, bilinmeyen parametrelerinin gecikmeden-bağımsız kararlı kılan bölgeleri bulunmuştur. Gecikmeye-bağımlı kararlılık analizi için ise, yine yardımcı karakteristik polinomun kendine-tersinir olmasından kaynaklı simetri özelliği ve faydalanılan etkili polinom kökü yer testi sayesinde, literatürde yaygın kullanılan ``Cluster Treatment of Characteristic Roots'' yöntemi iyileştirilmiştir. Sayısal yöntemdeki hesaplama yükü, yardımcı polinomun köklerinin yerini bulmaya yönelik ortaya konan analitik yaklaşım ile azaltılmıştır. Gerçekleştirilen iyileşme, daha önceki yöntemle analiz edilen bir sistem üzerinde yeni yöntem uygulanarak gösterilmiştir. Uygulama kısmında son olarak, düz bir ray hattında birbirini takip eden trenler ile bu trenleri kontrol eden yol kenarı kontrol birimleri arasındaki haberleşme gecikmelerine bağlı izleme problemi modellenmiş; elde edilen modelde, izleme için güvenli mesafenin korunması amacıyla gecikme uzayında kararlılık haritası, önerilen yöntem ile elde edilmiştir. Son olarak, önerilen kararlılık yönteminin literatürdeki dayanıklı kontrol yöntemleri ya da çeşitli arama ve optimizasyon algoritmaları ile geliştirilebileceği sonuç bölümünde tartışılmıştır. Tezin ikinci bölümünde, gecikme tabanlı kontrol tekniklerinden biri olan gecikme tabanlı filtre tasarımı ele alınmıştır. Bu filtreler, kolay gerçeklenebilirlik ve gecikmelere bağlı yumuşak zaman domeni cevapları sağlaması nedeniyle, esnek sistemlerin salınımlarını bastırmak üzere, referans işaretlerin şekillendirilmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Referans filtreleri olarak açık çevrimde kullanılmalarının yanı sıra, bu filtrelerin bir kısmının, ters formda geribesleme yolu üzerinde kullanılmasıyla, bozucuların esnek sistemin çıkışında neden olduğu salınımları da bastırabildiği yakın zamanda yapılan çalışmalarda gösterilmiştir. Açık veya kapalı çevrimde kullanılmasındaki temel yaklaşım, tasarlanan filtre sıfırları ile esnek sistemin modlarının silinmesi sayesinde sistem salınımlarının bastırılmasıdır. Bu çalışmada, sık kullanılan dağıtık gecikmeli filtrelerden olan bazı işaret düzleştiriciler ve işaret şekillendiricilerin parametrizasyonuna odaklanılmıştır. Ele alınan filtrelerin gecikme ve kazanç parametreleri; sönümsüz sistem modlarını bastırmak üzere analitik olarak belirlenebilirken, sönümlü sistem modları için, filtre yapıları gereği çoğunlukla bir optimizasyon yöntemi olmak üzere sayısal hesaplamalarla belirlenebilmektedir. Bu zorluğun üstesinden gelmek için, ele alınan filtrelerin yapıları, transfer fonksiyonları üzerinden kompleks düzlem dönüşümü ve kazanç ayarlaması yapılarak değiştirilmiştir. Böylelikle, kapalı formda parametrizasyonları mümkün olan yeni tipte üstel dağıtık gecikmeli filtreler önerilmiştir. Önerilen filtreler, referans işaretin ve esnek sistem çıkışının, sıfır salınımla ve önceki filtrelerin sönümsüz modu bastırmasında geçen aynı sürede, istenen değere yerleşmesini sağlamaktadır. Önerilen kompleks dönüşüm ve kazanç ayarlaması Yamuk-formlu (Trapezoidal), S-eğrisi (S-curve) ve Trigonometrik (Trigonometric) düzleştiricilere, Sarsı Kısıtlı (Jerk Limited) şekillendiriciye ve Dağıtık-gecikmeli Sıfır Salınım (Distributed-delay Zero Vibration) şekillendiricisine uygulanmıştır. Elde edilen üstel dağıtık gecikmeli yeni tipteki düzleştirici ve şekillendiriciler, zaman ve frekans domeninde incelenmiş; zaman cevabı performansları, spektral dağılışları ve dayanıklılık analizleri gibi temel özellikleri örnek bir sistem üzerinden doğrulanmış ve birbirleri ile karşılaştırılmıştır. Bunlara ek olarak, önerilen filtrelerden toplu ve üstel dağıtık gecikmeli olanı, saturasyon etkisi altında kontrol edilen esnek bir sistemin salınımlarını bastırmak üzere, geribesleme yolunda ters formda kullanılmıştır. Faydalanılan tipteki filtrelerin kapalı çevrimde kullanımının, kontrol işaretindeki saturasyona bağlı gelişen esnek sistem salınımlarını bastırma yeteneği ortaya konmuştur. Bu sonucun ardında yatan temel olgu, saturasyon etkisinin kontrol işaretine etki eden bir bozucu olarak ifade edilebilmesi ve ilgili filtrenin tersinin, kapalı çevrimde uygulanmasının bozucu bastırma yeteneğine sahip olmasıdır. Bu bulgu, PD tipi kontrolörün kullanıldığı kapalı çevrimli sistemler için gösterilmiş, literatürdeki diğer yaklaşımlara olan üstünlüğü tartışılmış ve deneysel olarak doğrulanmıştır.