Sıfır-çarpım koruyan operatörler ve ikilineer dönüşümlerin çarpım-çarpanlanabilmesi

Bu tez çalışması Banach uzay çiftleri üzerinde tanımlı olan ve kanonik bir çarpım aracılığıyla çarpanlanabilen ikilineer operatörler ile ilgilidir. Benzer durumlar fonksiyonel analizin soyut vektör latisleri —ortosimetrik dönüşümler—, C^*-cebirleri —sıfır çarpım koruyan dönüşümler—, ve klasik ve harmonik analiz —integral ikilineer operatörler— gibi farklı içeriklerinde bulunabilir. Bir jenerik çarpımın ikilineer operatörler için bir lineerleştirme aracı olarak kullanılması amaçlanmıştır. Temel olarak, bu tez çalışmasında bazı kapsama ve norm eşitlikleri şartları ile çarpım adı verilen bir ikilineer dönüşüm tanımlanmış ve Banach uzaylarının topolojik çarpımında hareket eden ikilineer sürekli operatörlerin bu çarpım vasıtasıyla çarpanlanması bir toplanabilirlik koşulu ile verilmiştir. Özel olarak belirli bir çarpım ve ikilineer operatör için belirli bir tanım uzayı ele alındığında, bu çarpanlama sıfır çarpım koruyan ikilineer operatörlerle yakından ilgilidir. İkinci bir adımda, özel olarak nokta çarpım ve konvolüsyon çarpım ele alınmıştır. Nokta çarpım durumunda, Banach fonksiyon uzayı ve dizi uzayı çiftleri üzerinde tanımlı ikilineer operatör göz önünde bulundurulmuştur. Bir ikilineer operatörün nokta çarpım çarpanlanabilir olması ancak ve ancak bu ikilineer operatörün sıfır çarpım koruyan operatör olması ile mümkün olduğu görülmüştür. Ardından, konvolüsyon çarpım ve integrallenebilir fonksiyonların Hilbert uzaylarının, sırasıyla Banach cebirlerinin çarpımı üzerinde tanımlı olan ikilineer operatörler incelendiğinde de aynı sonuç elde edilmiştir. Bu durumda, sıfır konvolüsyona sahip fonkiyon çiftleri için sıfır değerli olan tüm ikilineer operatörlerin konvolüsyon aracılığıyla bir çarpanlamaya sahip olduğu gösterilmiştir. Tezin bir diğer amacı da bu çarpanlamaları kullanarak ikilineer integral operatörlerin bazı sınıfları için yeni tanımlamalar sağlamak ve operatörlerin konkavlık özellikleri ile ikilineer operatörlerin soyut sınıfları için integral temsilleri elde etmektir. Bunlara ek olarak, operatörün görüntü uzayına klasik özellikler yüklenerek ikilineer operatörlerin kompaktlık ve toplanabilirlik özellikleri verilmiştir. Son olarak, sonuçlar integral ikilineer operatörlerin belirli sınıflarına ve çekirdek operatörlerine uyarlanıp uygulanmış ve sonuçlar uygulamalı olarak açıklanmıştır.