Theses supervised by Prof. Dr. İsmet Yıldız
12 theses · Düzce University
Meromorf fonksiyonların konvekse yakın fonksiyonlara dönüştürülmesi
Bu tez çalışmasında birim diskte meromorf bir fonksiyonun türevlerinin konveks ve starlike olması hakkında genel bağıntılarını adi türev operatörü yardımıyla verilmiştir ve bu fonksiyonun konveks ve starlike olması üzerine bazı bağıntıları bulunmuştur. Bunun için öncelikle ünivalent fonksiyonların birim diskindeki konveks ve starlike olması ile ilgili kavramlar tanıtılmış, ardından ünivalent bir fonksiyonun hangi koşullarda konveks ve starlike olduğu ve aralarında ne tür ilişkiler olduğu üzerine çalışmalar yapılmıştır. Delinmiş birim diskteki analitik ve ünivalent meromorf fonksiyonların bu özellikleri ve bu fonksiyonların konveks, konvekse yakın ve starlike olması için gerekli ve yeterli koşullar araştırılmıştır. Meromorf fonksiyona sahip olmak için gerekli formdan bahsedilerek f(z) fonksiyonu için karmaşık analitik dönüşümler incelenmiştir. f(z)=g(z)/h(z) olacak şekilde h(z) eşit değil sıfır koşulu sağlayan bir fonksiyondur. Birim D diskindeki f ve g nin analitik fonksiyonları için, Hadamard çarpımı ve lineer operatörler yardımıyla fonksiyonlar arasında subordinasyon ilkesini kullanarak meromorf analitik fonksiyon sınıfı meromorf fonksiyon sınıfını M yi ve M_a,_b(alpha,beta;h) alt sınıflarını gösterir. Son olarak sonuç ve tavsiyeler yer verilmiştir.
Subordinat şartları altında konvekse yakın fonksiyonlar
Fonksiyon türlerinden birisi olan geometrik fonksiyonların temel teorisi olabildiğince mühim bir yeri olan ünivalent ya da diğer adı ile yalınkat analitik fonksiyonların S sınıfı ve bu fonksiyonların önemli alt sınıflarının tanımları verilip daha sonra alt başlıkları altında olan subordinasyon ilkesi, ünivalent fonksiyonların bir takım alt sınıfları açıklanmış, bu fonksiyonların bir takım alt sınıfları bu şekilde teoremlere ait alt sınıf örnekleri verilmiştir.
Weierstrass pe-eliptik fonksiyonunun n. mertebeden türevleri ile zeta-yarı eliptik fonksiyonu arasındaki bağıntılar
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde eliptik fonksiyonlar ve Weierstrass fonksiyonlarının kimler tarafından oluşturulduğu hakkında bilgi verildi. İkinci bölümde çalışma içerisinde kullanılmış olan gerekli tanım ve temel teoremler verildi. Üçüncü bölümde Weierstrass eliptik fonksiyonları tanıtılarak aralarındaki bazı ilişkiler verildi. Dördüncü bölümde Weierstrass Pe-eliptik fonksiyonu ile Zeta-yarı eliptik fonksiyonunun n. mertebeden türevleri arasındaki bağıntılar elde edildi.
Teta fonksiyonlarının periyotlarının 1/(2^{r}) katlarına göre değer değişimleri ve bu yolla elde edilen eliptik fonksiyon
Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezin içeriği ve yapılan çalışmalar hakkında kısaca bilgi verildi. Ayrıca çalışma içerisinde kullanılmış olan tanımlar verildi. İkinci bölümde, Üç terimli Teta Fonksiyonunun tanımı ve q-Notasyonu verilerek Genel Teta Fonksiyonu özdeşliği ve Kübik Teta Fonksiyonu Özdeşliği elde edildi. Üç Terimli Teta Fonksiyonu Özdeşlikleri elde edildi, Weierstrass Pe-eliptik fonksiyonu için toplam formülünün ispatı verildi. Üçüncü bölümde ise Teta fonksiyonlarının (?/(2^{r});??/(2^{r}) periyot çiftlerine göre dönüşümleri elde edildi.
Theta fonksiyonu ve dedekınd eta fonksiyonundan elde edilen eliptik fonksiyon üzerine
Weierstrass'ın sigma fonksiyonu ile teta fonksiyonları arasında bir ilişki olduğu aşikardır. Bir eliptik fonksiyon teta fonksiyonları ile oluşturulabileceği gibi, Weierstrass'ın sigma fonksiyonu yardımıyla da kurulabilir ve Dedekind ?-fonksiyonu ve ?-teta fonksiyonu arasındaki iki ilişki Im?>0 ı sağlayan z,? kompleks sayıları ve (z,?) çiftine göre ?-fonksiyonu için karakteristik değerler kullanılarak kurulabilir. Bu tez üç bölümden oluşmaktadır ve tezin birinci bölümünde çalışma içerisinde kullanılmış olan gerekli tanım ve temel teoremler verildi. Bu tezin ikinci bölümünde de periyodik ve eliptik fonksiyonlar, Weierstrass Pe-fonksiyonu, Weierstrass Zeta-fonksiyonu ve Sigma fonksiyonu tanıtılmıştır. Aynı zamanda eliptik fonksiyonların Zeta-fonksiyonu ile oluşturulması ve Weierstrass tarzı eliptik fonksiyonların oluşturulması hakkında bilgi verilmiştir. Ardından, eliptik fonksiyonların cebirsel ve geometrik özellikleri, teta fonksiyonları ve Jacobi teta fonksiyonları hakkında bilgi verilmiştir. Son olarak Dedekind eta fonksiyonu tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde ise, çeyrek periyotlara göre teta fonksiyonları arasındaki dönüşümler verilmiş ve Jacobian tarzı eliptik fonksiyonlar; tanımlanmış bir fonksiyon yardımıyla teta fonksiyonları kullanılarak kurulmuştur.
Ünivalent fonksiyonlar içerisinde geometrik fonksiyonların sağladığı bazı özellikler üzerine
Bu çalışmada görüntü kümesi özel bir geometrik özelliğe sahip olan ünivalent fonksiyonların bazı aileleri incelenmiştir. Bu aileler konveks ve yıldızıl dönüşümler, hemen hemen konveks dönüşümler ve spiral-like dönüşümlerdir. Bu fonksiyonların analitik özellikleri ile görüntü kümesinin geometrisi arasındaki bağlantı ifade edilmiştir. Ayrıca bu fonksiyonların Hadamard Çarpımının geometrik özellikleri ve bu çarpım ile oluşturulan koşullar derlenmiştir.
Tek ve çok karmaşık değişkenli ünivalent fonksiyonlar
Bu tezde tek ve çok karmaşık değişkenli ünivalent fonksiyonların özellikleri incelenmiş ve integral operatörü kullanılarak ünivalent fonksiyonların bir alt sınıfı elde edilmiştir. Diferensiyel subordinasyon kuralı uygulanarak da bu yeni sınıfın özellikleri incelenmiştir. Ayrıca çok değişkenli ünivalent fonksiyonlar için Loewner denkleminin teorik yönleri incelenmiştir. Genel Loewner zincirleri ve bunların geçiş dönüşümleri için Lipschitz düzeni dikkate alınmıştır. Bunun bir sonucu olarak, keyfi bir Loewner zincirinin, Loewner diferensiyel denklemini karşıladığını ve bunların geçiş dönüşümlerinin bir başlangıç değer problemine karşılık geldiği gösterilmiştir. Bir boyut ve daha yüksek boyutlardaki Loewner teorisi arasındaki en önemli farklardan birinin parametrik gösterimlerin oynadığı roller olduğu gösterilmiştir. Tek değişkenli fonksiyonların içindeki durumun aksine, çok değişkenli fonksiyonların içinde ilk elemanının parametrik gösterimi olmayacak şekilde Loewner zincirlerinin mevcut olduğu gösterilmiştir. Çok değişkenli Loewner diferensiyel denklem için varlık teoremleri kompakt çok değişkenli Caratheodory sınıfına eş teoremlerin bir sonucu olarak gelişmiştir.
Ünivalent fonksiyonların elementer teorisi
Bu çalışmada S sınıfının alt sınıfı olan A sınıfından seçtiğimiz ve aynı zamanda ünivalent fonksiyon olan iki fonksiyonun birim disk U={z eleman C:|z|<1} da analitiklik şartını sağlarken bu iki fonksiyonun cebirsel toplamının aritmetik ortalamasının ünivalent fonksiyon olmadığını f(0)=0 ve f'(0)=1 şartını sağlamadığını göstermiş olduk.
Konvenks ve starlike fonksiyonlar arasındaki bağlantılar
Literatürde tanımlanan fonksiyonun daha önce konvekse yakın fonksiyonlar için yapılan bir ispatı bulunmamaktadır. Bu çalışmada, daha önce Starlike fonksiyonu için elde edilen ak katsayıları, şimdi 0≤a<1 aralığında f(z)ϵA için ilgili fonksiyonun konvekse yakın bir ispatı yapılmıştır. Çemberin içinde alınan bir noktayı fonksiyonda yerine yazarsak; hangi kümede olduğunu bulabileceğimize ve; ∑_(k=1)^∞▒〖{|k-2u_k |+(1-a)|u_k |}〗 |A_(k+1) |≤1-a eşitsizliği, bu değer kümesindeki fonksiyon için sağlanıyorsa, f(z)ϵS(a, t) olduğu için f(z)ϵK(a) içinde sağlanıyordur.
Convex and star functıons in univalent functıons
Bu çalışmada, birim diskte ünivalent ve analitik fonksiyonlar ile delinmiş birim dairede analitik ve ünivalent fonksiyonların konvekslik ve yıldızıllık özellikleri ile bunların arasındaki bağıntılar incelenmiştir. Tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümü giriş kısmıdır. İkinci bölümde genel tanım ve teoremler yer almıştır. Üçüncü bölümde konveks ve yıldızıl fonksiyonların genel açıklamaları verilip aralarındaki bağıntılar incelenmiştir. Dördüncü bölümde elde ettiğimiz bulgular üzerinde durulmuştur. Son bölüm olan beşinci bölümde ise elde ettiğimiz sonuç yer almaktadır.
Kompleks mertebeden yıldızıl ve konveks fonksiyonların özellikleri
Geometrik fonksiyonlar teorisi, analitik kavramını tüm yönüyle ele alan ve bağdaştıran karmaşık bir analizin dalıdır. Karmaşık fonksiyonlar teorisi bir analitik fonksiyon teorisinin en muhteşem yönlerinden biridir. Bu çalışmada teorinin gelişimi için önemli olan Bieberbach varsayımını kullanarak ve iki eşitsizliğin yardımıyla f(z) fonksiyonun α dereceli yıldızıl ve konveks olma durumları gösterildi. Çalışma matematiğin potansiyel teorisi hiperbolik, geometrik ve dinamik sistemler gibi diğer alanlarıyla da ele alındı.
Meramorfik fonksiyonlar kullanılarak univalent fonksiyonlara ait yeni bir sınıf elde edilmesi
Bu çalışmada geometrik fonksiyonların içerisinde meramorfik fonksiyonlar sınıfından olan Weistrass sigma, zeta, eliptic fonksiyonları kullanarak ünivalent özelliğini sağlayan yeni bir geometrik fonksiyon sınıfı elde edildi.