Adi diferansiyel denklemlerin çözümü için rezidü yöntemi

Üç bölümden oluşan tezde, lineer diferansiyel operatörler ve onların oluşturduğu lineer diferansiyel denklemler için genel şekilde yazılmış sınır değer probleminin cebirsel yapısı detaylı şekilde incelenmiştir. Bu amaçla genel şekilde yazılmış lineer diferansiyel ifade ve operatörler için Lagrange anlamında adjoint diferansiyel ifade ve adjoint sınır koşulları da incelenmiştir. Bunun yanı sıra lineer diferansiyel operatörlerin özdeğerleri ve özfonksiyonları da kapsamlı şekilde ele alınmış ve onların bazı özellikleri araştırılmıştır. Ayrıca tezde, lineer diferansiyel ifade ve operatörler için Green fonksiyonu kullanılarak, adi lineer diferansiyel operatörler için ters operatörün kurulmasına da yer verilmiştir. Bu tür araştırmalar, lineer kısmi türevli diferansiyel denklemler için yazılmış sınır değer problemlerinin çözümünü Fourier yöntemi ile aldığımızda ve çözümün doğrulanmasında önem kazanmaktadır. Bilindiği gibi, spektral problemin özdeğerleri katlı olduğu durumda bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar tam ve ortonormal sistem oluşturmazlar ve böyle durumlar için Fourier yönteminin uygulanmasında bazı zorluklarla karşılaşılır. Bu nedenle, tezin üçüncü bölümünde sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemler için yazılmış sınır değer probleminin çözümü rezidü yöntemiyle incelenmiş ve ele alınmıştır. İncelenmiş olan rezidü yöntemi self adjoint olmayan ve katlı özdeğerlere sahip sınır değer problemleri için de geçerli olmaktadır. Son bölümde, özel olarak ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen olmayan denklem için yazılmış sınır değer problemi hem sabitin varyasyonu hem de rezidü yöntemleri ile çözülmüştür.