Singüler Sturm-Liouville operatörünün spektral teorisi

ÖZET Doktora Tezi SİNGÜLER STURM-LIOUVDLLE OPERATÖRÜNÜN SPEKTRAL TEORİSİ Hikmet KOYUNBAKAN Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 2002, Sayfa: 84 Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde; Legendre denklemi, Legendre polinomları ve eşlenik Legendre fonksiyonları tanımlanmış ve bunlara ilişkin ön bilgiler verilmiştir. Tanım aralığının uç noktalarında tekilliğe sahip Sturm-Liouville operatörünün özdeğerleri, özfonksiyonları, normlaştırıcı sayıları için asimptotik formüller bulunmuştur. Ayrıca bu tür denklemler için osilasyon teoremi ispatlanmıştır. Üçüncü bölümde farklı potansiyellere sahip singüler diferensiyel operatörler için dönüşüm operatörünün varlığı gösterilmiştir. Dolayısıyla K(x,f) çekirdeği için elde edilen ikinci mertebeden singüler Hiperbolik denklem Euler-Poisson-Darboux denklemi cinsinden yazılarak, Riemann yöntemi ile çözülmüştür. Dördüncü bölümde Marchenko teoreminin benzeri olmak üzere singüler Sturm- Liouville operatörünün spektral fonksiyonunun tekliği ispatlanmıştır. Daha sonra ters problemin esas integral denklemi olarak bilinen Gelfand-Levitan-Marchenko denklemi bulunmuştur. Beşinci bölümde Kısmen çakışmayan iki spektruma göre ters problem incelenmiştir. Hochstadt yönteminden faydalanarak singüler diferensiyel operatörler için q-q farkının yapısı ile ilgili teoremin ispatı verilmiştir. Son olarak belirli koşullar sağlanacak biçimde q(x) potansiyelinin bir tek spektruma göre tanımlanması için yeterlilik teoremi ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Özdeğer, Özfonksiyon, Spektrum, Riemann Metodu, Esas integral Denklem.