Symmetry in some overdetermined problems

Bu yüksek lisans tez çalışmasında iki temel konu ele alınmıştır. Bunlardan ilki eliptik aşırı belirgin problemleri, ikincisi ise parabolik aşırı belirgin problemleri kapsamaktadır. Eliptik yapıda temel bir problem ele alınmak istendiğinde Du = c0d0; W bölgesinde; u = 0; ¶W sınırında: denklemleri uygun bir seçimdir. Burada D Laplasyeni, d0 dirac delta fonksiyonunu, ¶W ise W bölgesinin sınırını göstermektedir. Yukarıdaki verilen probleme ¶nu = F(jxj); ¶W sınırında; şeklinde bir ek sınır koşulu getirdiğimizde problem aşırı belirgin bir hal alacaktır. Burada, F, sonradan belirlenecek bir fonksiyon olmak üzere, n iç normal doğrultusunu göstermektedir. Ayrıca, W Rn (n 2 ) bölgesi sınırlı C1 sınıfından seçilmiştir. Yukarıda verilen sınır değer probleminde W bölgesinin hangi koşullar altında küre olabileceği ilginç bir soru olarak karşımıza çıkmaktadır. Aşırı belirgin bir eliptik problemde görülen ek sınır koşulu altında bölgenin G Green fonksiyonu ele alındığında jÑGj sınırda sabit bir değer olarak elde edilir. Bu ise bize W bölgesinin bir küre olduğu sonucunu verir. Diğer yandan, iki fazlı bir yapıda u+ ve u olarak iki Green fonksiyonu ile çalışılmaktadır. W bölgesi içinde örneğin orijinde kutup noktasına sahip olan u+ Green fonksiyonu ve W bölgesinin dışında sonsuzda kutuba sahip olan u Green fonksiyonu arasında bir ilişki elde edilebilir. Bu ilişki W bölgesinin sınırında Green fonksiyonlarının normalleri cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir: ¶nu+ = F(¶nu); ¶W sınırında: Burada F verilen bir fonksiyon olup, hangi özellikleri sağlaması durumunda W bölgesinin bir küre olabileceği sorusuna cevap aranmaktadır. ˙Iki fazlı durumdan çok fazlı duruma geçildiğinde, aşırı belirgin problem için simetrinin gösterilmesi biraz daha zahmetli ve detaylı hesaplar içermektedir. Bu çalışmada, bu hesapların yanısıra çok fazlı durumda aşırı belirgin Dpu , p-Laplace denklemi için sonuçlar genelleştirilmiştir. Bir parabolik problemin incelenmesinde en temel denklem olan ısı denklemi Hu = d0; Dl bölgesinde; u = 0; ¶Dl sınırında; şeklinde verilen sınır değer problemi olarak incelenebilir. Burada H = D ¶t ısı operatörü olup, Dl ısı yuvarını, ¶Dl ise ısı yuvarının sınırını göstermektedir. Parabolik sınır değer problemine ek olarak j¶nxuj = l jxj 2t ; sınır koşulunun tanımlanması problemi aşırı belirgin bir sisteme dönüştürür. Isı denklemindeki u çözümünün ek sınır koşulunu da sağladığı gösterilebilir. Burada ¶nxu; nx doğrultusundaki doğrultu türevidir. Tezde çalışılan ikinci temel konu, yukarıda verilen parabolik sınır değer probleminde W bölgesinin hangi koşullar altında bir ısı yuvarı olabileceğidir. Parabolik problem yapı itibari ile ısı yuvarları ile ilgili olduğundan teknik olarak eliptik problemden farklı yöntemler kullanmamızı gerektirir. Örneğin, elliptik bir sistemde maksimum prensibi sonuç verirken, parabolik bir sistemde Hopf lemmasından faydalanmamız gerekmektedir. Parabolik problemde de eliptik problemde olduğu gibi çok fazlı ortamda genel sonuçlar elde edilmiş, özel durumlarda bu sonuçların tek fazlı ve iki fazlı ortamlardaki sonuçları kapsadığı gösterilmiştir. Bu yüksek lisans tezinde, eliptik ve parabolik durumlar için aşırı belirgin simetri problemleri tek fazlı, iki fazlı ve çok fazlı durumlar için ele alınmıştır. Çalışma beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, konuya genel bir giriş yapılmış, eliptik ve parabolik çok fazlı aşırı belirgin problemlerde simetri problemi ile ilgili sınır değerlerin doğrusal olmayan fonksiyonlardan oluştuğu durumda bazı bilgiler verilmiştir. Konuyla ilgili literatürde mevcut olan bazı sonuçlar da kısaca özetlenmiştir. İkinci bölümde, Laplace ve ısı denklemleri tanıtılmış, ilgili terminoloji gözden geçirilmiş; Diverjans Teoremi, Maksimum Prensibi, Hopf Lemması gibi temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, bir aşırı belirgin eliptik problem için küreler ele alınarak simetri analiz edilmiştir. Literatürde mevcut olan sonuçlar göz önünde bulundurularak, öncelikle, lineer olmayan sınır koşulları altında Laplace denklemi tek fazlı ortamda incelenmiştir. Ardından, problem iki fazda ele alınmıştır. Tek fazlı durum için problemin yapısı ile ilgili fikirler verilirken, iki fazlı durumda ise problemin zorlukları irdelenmiştir. Daha sonra, sonuçları genelleştirmek adına, p-Laplace operatörü ele alınmış, küre için Green fonksiyonlarının tanımları ve formları açık şekilde yazılmıştır. P-Laplace denklemi için çok fazlı versiyon detaylı olarak incelenmiştir. Elde edilen sonuçların aynı zamanda Laplace denkleminin çok fazlı durumundaki simetri özelliğini de kapsadığı belirtilmiştir. Dördüncü bölümde, parabolik aşırı belirgin bir problem için ısı yuvarları ele alınarak simetri analiz edilmiştir. Doğrusal olmayan sınır koşulları altında aşırı belirgin tek fazlı, iki fazlı ve çok fazlı durumlarda simetri kanıtlanmıştır. Diğer bir değişle, hangi ek sınır koşulları altında bölgenin bir ısı yuvarı olabileceği detaylı bir şekilde incelenmiştir. Bu fikirler ile birlikte benzer problemlerde küresel simetri de ifade ve ispat edilmiştir.