Bi-İzotonik Uzaylarda İkili Kompaktlık

Bİ-İZOTONİK UZAYLARDA KOMPAKTLIK ÖZET Bu tez çalışması, bi-izotonik uzayların ikili kompaktlığını tanıtmayı ve özelliklerini araştırmayı amaçlayan beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm, mevcut literatürün özetine ayrılmıştır. Ayrıca, temel kavramların açıklandığı ikinci ve üçüncü bölümlerde sırasıyla bitopololojik uzaylar ve bi-izotonik uzaylara dair bilinen kavramlar detaylı bir şekilde ele alınmıştır. Bu uzaylarda daha önce yapılan araştırmaların sonuçları, yeni tanımlamalar ve incelemeler için temel oluşturacak şekilde özetlenmiştir. İlk bölüm, tez konusuyla ilgili yapılan çalışmaların tarihsel gelişimini detaylı olarak sunmaktadır. Bu bölümde, bitopolojik uzay ve bi-izotonik uzay kavramlarının literatüre kazandırılma süreçleri ile araştırmacıların ikili yapıların olduğu bu uzaylarda kavramları farlı bakış açıları ile nasıl ele aldıkları açıklanmıştır. Dahası bitopolojik uzaylarda ikili kompaktlığın alternatif tanımlarının verilme ve bu tanımların karşılaştırılma süreci paylaşılmıştır. Bu bağlamda, tez konusu için öncü çalışmalar ve bu konuda ortaya çıkan önemli sonuçlar ile ilgili bilgi verilmiştir. İkinci bölümde ve boştan farklı bir kümesi üzerinde herhangi topolojik yapılar olmak üzere bir bitopolojik uzaylarında temel tanımlara, herhangi bitopolojik uzaylar arasında tanımlanan dönüşümlerin bi-sürekliliğine ve bitopolojik uzaylarda ayırma aksiyomlarının genellemelerine yer verilmiştir. Ayrıca, bitopolojik uzaylarda ikili kompaklık kavramı tezimizin orijinal tanım ve bulguları için ilham kaynağı olduğundan bu kavram da ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Üçüncü bölümde ve boştan farklı bir kümesi üzerinde herhangi izotonik operatörler olmak üzere bi-izotonik uzaylarının tanımı ve izotonik operatörlerin özellikleri ile birlikte alt uzay, bi-süreklilik ve ikili ayırma aksiyomları gibi temel kavramların bi-izotonik uzaylarda nasıl şekillendiğini gösteren ilgili tanım ve teoremler sunulmuştur. Son olarak dördüncü bölüm, bu tezin orijinal kısmı olup bu tezin ikinci ve üçüncü bölümünde verilen bitopolojik uzaylar ve bi-izotonik uzaylara ilişkin temel bilgiler ışığında bi-izotonik uzaylarında ikili kapalı kümler ailesi ve ikili açık örtü tanımları verilip bu tanımlardan faydalanarak bi-izotonik uzaylarda ikili kompaktlık kavramı ilk kez açıklanmıştır. İkili kompaklığın karakterizasyonlarının yanı sıra alt uzayların ikili kompaktlığı ve ikili komplaktlığın bi süreklilik altında nasıl korunduğu gibi temel sorulara yanıtlar verilmiştir. Bu tez çalışmasından elde edilen tüm sonuçlar beşinci bölümde özetlenmiş ve bundan sonra yapılacak araştırmalara yönelik öneride bulunulmuştur. Sonuç olarak bi-izotonik uzaylarda bağlantılılık ve ayrıma aksiyomları gibi bilinen kavramlara ek olarak kompaktlığın da araştırlmasıyla elde edilecek bulguların manifold teorisi gibi alanları etkilemesi beklenmektedir. Ayrıca oldukça yeni bir kavram olan bi-izotonik uzaylar, farklı yoğunlukları olan altkümeleriyle dikkat çeken bir yapıya sahip olup, matematiksel analizin de ilgi alanındadır. Bu çalışma, bu özel uzay türünün daha iyi anlaşılmasını sağlayarak matematiksel analizdeki genel bilgi birikimine katkıda bulunacaktır. Böylece bi-izotonik uzaylarda ikili kompaktlık kavramı ilgili diğer bilim alanlarına da yeni bir bakış açısı kazandıracaktır. Elde edilecek sonuçlar teorik ve uygulamalı matematik alanlarında yeni keşiflere ve gelişmelere yol açacak bir adım olacaktır. Daha açık bir ifade ile bulgularımız matematiksel teorilerin temellerini güçlendirirken bu uzayların uygulama alanları olan diğer disiplinlere de ışık tutacaktır. Ayrıca, bu çalışmanın elde edeceği sonuçlar, bi-izotonik uzaylarda yerel, sayılabilir yada dizisel ikili kompaktlık yada ikili parakompaktlık gibi kavramlar üzerine araştırmalara yön verecek ve bu alanda gelecekteki çalışmalar için önemli bir temel oluşturacaktır.