Bir graf ile ilişkili bazı matrislerin temel özellikleri

Bu tezin hazırlanmasında kullanılan başlıca kaynak, Bapat (2014)'ın "Graphs and Matrices" kitabıdır. Esas itibariyle bizim yaptığımız, tezin başlığından da anlaşılacağı üzere, "bir graf ile ilişkili bazı matrislerin temel özellikleri"ni anlamak ve anlatmak için, söz konusu kitabın ikinci, üçüncü ve dördüncü bölümlerini Türkçeye çevirmekten ibarettir. Fakat motamot bir çeviri yapılmamış, her ispat daha ayrıntılı bir şekilde yazılmış ve kitabın okuyucuya bırakılan birçok kısmı şerh edilerek konu daha anlaşılır bir şekilde sunulmuştur. Ayrıca, belirtilen bölümlerin anlaşılabilmesi için ön şart durumunda olan matris teorinin ve graf teorinin temel tanım ve teoremleri, mezkur kitabın birinci bölümü ve Nica (2018)' in birinci ve ikinci bölümleri kullanılarak, tezin ilk bölümünde verilmiştir. Bunlara ek olarak kaynaklar kısmında listelenmiş olan makalelere de başvurulmuştur. Ana hatlarıyla özetlemek gerekirse: İkinci bölümde, yönlendirilmiş ve yönlendirilmemiş graflarin bağlılık matrislerinin özellikleri çalışılmıştır. Ayrıca, bir bağlılık matrisinin Moore-Penrose tersinin bulunması için bir yöntem verilmiş; bağlılık matrisleri ve yol matrisleri arasındaki ilişki ortaya konulmuş ve König-Egervary teoremi ispat edilmiştir. Üçüncü bölümde, bir grafın komşuluk matrisinin özellikleri çalışılmıştır; bazı grafların (komşuluk matrislerinin) karakteristik değerleri hesaplanmış, bir grafın en büyük karakteristik değeri ile ilgili bazı sınırlar belirlenmiş ve grafın en küçük ve en büyük karakteristik değerleri kullanılarak, grafın kromatik sayısı icin bir alt sınır bulunmuştur; ayrıca, bir yönlendirilmiş grafın karşıt-komşuluk matrisi tanımlanmış ve regüler ağaçların komşuluk matrislerinin özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, bir grafın Laplace matrisinin özellikleri çalışılmıştır; bazı grafların Laplace karakteristik değerleri hesaplanmış ve Laplace spektral yarıçapı için sınırlar belirlenmiştir; ayrıca, Matris-Ağaç teoremi ispat edilmiş ve bir ağacın kenar-Laplace matrisi tanımlanarak Moore-Penrose tersi bulunmuştur. Tezin beşinci, sonuç ve önerilerden önceki son bölümünde ise, mevzubahis kitabın ilgili bölümlerinin sonundaki notlar kullanılarak, tezin konusu ile ilgili kısa bir literatür taraması sunulmuştur.