Çeşitli kuantum sistemleri için Gel'fand üçlü uzay yapısının kurulması

Kuantum mekaniğinin matematiksel yapısı matrisler ve diferansiyel işlemcilere dayanmaktadır. Bu işlemcilerin etki ettikleri vektör uzayı genellikle Hilbert uzayı olarak seçilmektedir. Ancak Hilbert uzayı, kuantum fiziğinin yaygın olarak kullanılan formülasyonu olan Dirac formülasyonu ve Dirac delta-fonksiyonunun tanımlanması için gerekli matematiksel alt yapıyı sağlayamamaktadır. Dirac formülasyonunun ve delta-fonksiyonunun matematiksel yapısını oluşturmak amacıyla, I. M Gelfand ve N. Ya. Vilenkin 1964 yılında, L. Schwartz tarafından geliştirilen dağılımlar teorisini geliştirerek Gel'fand üçlü uzay yapısını oluşturmuşlardır. Bu tezde, H. S. Green tarafından kuantum mekaniksel işlemcilerin spektrum ve özvektörlerinin bulunmasında kullanılan faktorizasyon yöntemi kullanılarak, çeşitli kuantum mekaniksel sistemlerin Gel'fand üçlü yapılarının elde edilebileceği gösterilmiştir. Örnek olarak, harmonik salınıcı ve sonsuz kuyu sistemlerinin Gel'fand üçlü uzay yapısı elde edilmiştir. Ayrıca, sonuç kısmında sonsuz kuyu potansiyelinde vektör uzayı olarak Hilbert uzayı seçildiğinde enerjinin karesi ve belirsizlik hesaplarında ortaya çıkan tutarsızlığın, Gel'fand üçlü yapısı seçildiğinde ortadan kaldırılabileceği gösterilmiştir.