COVID-19 özelinde bulaşıcı hastalıkların matematiksel modelleri ve bu modellerin niteliksel analizi

Bu tezde, orijinal ve mutant virüslerle COVID-19 enfeksiyonu üzerine kısmen koruyucu bir aşının etkisi bölmeli deterministik bir matematiksel model kullanılarak araştırıldı. Geliştirilen model S (duyarlı), V (aşılanmış), I_1 (orijinal virüsle enfekte), I_2 (mutant virüsle enfekte) ve R (iyileşmiş) alt bölmelerinden oluşmaktadır. Modelde hem yapay aktif bağışıklığın (aşılanmış) hem de doğal aktif bağışıklığın (enfekte) etkisi dikkate alındı. Çalışmada, COVID-19'da orijinal virüsün ve mutant virüsün bulaşıcılık, iyileşme ve ölüm oranlarının farklılığı göz önüne alınmaktadır. Öncelikle yeni nesil matris yöntemi kullanılarak temel çoğalma sayısı elde edildi. Modelin hastalıksız denge noktasının ve endemik denge noktasının lokal kararlılığı Routh-Hurwitz kriteri ile ve global kararlılığı ise Lyapunov fonksiyonları yardımıyla analiz edildi. Castillo-Chavez ve Song Çatallanma Teoremi kullanılarak, aşının yeterince etkili olmadığı durumlarda ortaya çıkan ve temel çoğalma sayısı 1'in altında olsa bile hem hastalıksız hem de endemik denge noktalarının aynı anda var olmasına yol açan geriye doğru bir çatallanmanın varlığı gösterildi. Üç model parametresi parametre tahminiyle tahmin edildi ve modele duyarlı parametreler yerel duyarlılık analizi kullanılarak belirlendi. Aşı etkinliğini temsil eden parametrenin temel çoğalma sayısına en duyarlı parametre olduğu ve aşı etkinliğinin artırılmasının ikincil vakaların ortalama sayısını azaltacağı görüldü. Modelin dinamiklerinin altında yatan temel mekanizmaları göstermek ve analitik bulguları desteklemek için sunulan üç farklı simülasyon, aşı etkinliği ile salgının seyri arasında güçlü bir ilişki olduğunu, ikincil vakaların ortalama sayısını ve enfekte bireylerin salgının etkisi altında uzun süre kalma olasılığını azaltmak için daha yüksek etkili aşılar üretmenin ve aşılama oranını artırmanın gerekli olduğunu göstermektedir. Son olarak, salgının hangi koşullar altında kontrol edilebileceğini veya azaltılabileceğini anlamak için bir optimal kontrol problemi oluşturuldu. Enfekte bireylerin sayısını azaltmak ve kontrollerin maliyetini en aza indirmek için, Pontryagin'in maksimum prensibi yardımıyla halk sağlığı eğitimi, aşılama, tedavi ve izolasyon kontrol stratejilerini içeren bir amaç fonksiyonu oluşturulmuş ve çözülmüştür. Sayısal simülasyonlar, kontrol stratejilerinin uygulanmasının COVID-19 salgınının bulaşma dinamiklerini kontrol etmede etkili olduğunu göstermekte ve dört kontrolün aynı anda uygulanmasının üç, iki ve tek kontrolün uygulanması ile karşılaştırıldığında daha etkili olduğunu göstermektedir.