Değişken üslü bazı hiperbolik tipten denklemlerin çözümlerinin kalitatif analizi

Birinci bölümde, enerji azalımı ve çözümlerin patlamasıyla ilgili olarak bugüne kadar gerçekleştirilen çalışmaların tarihsel süreci incelenmiştir. İkinci bölümde, tezde kullanılacak olan temel kavramlar, ana teoremler ve önemli eşitsizlikler ayrıntılı olarak verilmiştir. Üçüncü bölümde, çalışmada yararlanılacak enerji azalımı ve çözümlerin patlamasına ilişkin temel lemmalar ile bunların ispatları sunulmuştur. Dördüncü bölümde lineer olmayan kaynak ve sönümleme terim içeren bir Lame ters probleminin çözümlerinin enerji azalmasına çalışılmıştır. Bu problem elastisite teorisinden gelmekte olup, yapısal analizlerde sıklıkla karşılaşılan bir modeldir. Çözümlerin enerji fonksiyonelinin zamanla azaldığı, belirli koşullar altında sıfıra yakınsadığı gösterilmiştir. Luxemburg normu altında yapılan analizler, Poincaré tipi eşitsizlikler ve türevsel enerji tahminleri ile desteklenmiştir. Teorem 4.3.1 ile çözümlerin enerji fonksiyonelinin zamana bağlı olarak üstel biçimde azaldığı ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, doğrusal olmayan yarı lineer bir dalga denklemi tipi için değişken üslü sönümleme ve kaynak terimleri içeren ters problem analiz edilmiştir. Negatif başlangıç enerjisine sahip çözümlerin sonlu zamanda patladığı Georgiev-Todorova metodu ile gösterilmiştir. Bu sonuç, fiziksel sistemlerde enerji birikimi veya instabilite durumlarının matematiksel modellemesi açısından önemlidir. Teorem 5.3.1 ile enerji fonksiyonunun negatif kaldığı sürece çözümlerin sonsuz hale gelmeden önce bir sonlu zamanda patladığı ispatlanmıştır. Altıncı bölümde, doğrusal olmayan değişken üslü sönümleme ve kaynak terim içeren lokal olmayan tekil viskoelastik denkleminin çözümlerinin global varlığı, enerji azalması ve patlaması incelenmiştir. Enerji azalımı Nakao eşitsizliği kullanılarak ispatlanmıştır. İlk olarak bu denklem sistemine bağlı bir $E(t)$ fonksiyonu bulunup, $E(t)$ fonksiyonunun artmayan olduğu gösterilmiştir. Daha sonra belli eşitsizlikler, lemmalar kullanılarak $\rho =1$ için ve $1<\rho <\frac{3}{2}$ için iki farklı durumda enerji azalması gösterilmiştir. Çözümlerin patlaması başlangıç enerjisinin $m(x)=2$ olduğunda, $E(0)=0$, $E(0)>0$ ve $E(0)<0$ üç farklı durumu için 2003 yılında Li ve Tsai tarafından bulunan yöntem kullanılarak gösterilmiştir. Ayrıca, $m(x)\ne 2$ için, 1994 yılında Georgiev-Todorova tarafından geliştirilen yöntemle problemin bir $u(x)$ çözümü için sonlu bir ${{T}^{*}}$ zamanında çözümün patlaması gösterilmiştir. Tezin son ve yedinci bölümünde, tartışma ve sonuç bölümüne yer verilmiştir. Burada tezde yapılan sonuçların literatüre kattığı yeniliklerden ve gelecekte hangi tür çalışmalara yardımcı olabileceğinden bahsedilmiştir. Anahtar Kelimeler: Global varlık, Çözümlerin patlaması, Enerji azalması, Değişken üs, Ters problem, Dalga denklemi, Viskoelastik denklem