Diferansiyel denklemlerin simetriler ile indirgenmesi ve tam çözümlerinin elde edilmesi

Bu yüksek lisans tezinde, diferansiyel denklemlerin simetriler yardımıyla indirgenmesi ve tam çözümlerinin elde edilmesi detaylı bir şekilde incelenmektedir. Matematiksel fizik, mühendislik, biyoloji ve diğer birçok bilim dalında kullanılan diferansiyel denklemler, karmaşık süreçleri ve sistemleri modellemek için güçlü bir araç olarak karşımıza çıkmaktadır. Ancak, bu denklemlerin çözümü genellikle analitik zorluklar içermekte ve bu tez, bu zorluklarla baş etmek amacıyla simetri kullanımını ve analitik çözüm tekniklerini ele almaktadır. Çalışmanın ilk bölümünde, diferansiyel denklemlerin genel bir tanımı ve önemi üzerinde durulacaktır. Diferansiyel denklemlerin doğada ve mühendislik uygulamalarında nasıl karşımıza çıktığını anlamak, çalışmanın temelini oluşturmaktadır. İkinci bölümde, simetri kavramının matematikteki rolü ele alınacak ve diferansiyel denklemlerin simetriler kullanılarak nasıl indirgenebileceği anlatılacaktır. Üçüncü bölümde, diferansiyel denklemlerin tam çözümlerini elde etme sürecine odaklanılacaktır. Dördüncü bölümde, diferansiyel denklemlerin mertebelerinin simetri analizleri yoluyla indirgenmesi ele alınmış; Lie simetrileri yardımıyla yüksek mertebeli denklemlerin daha düşük mertebeye indirgenerek çözüme ulaşılması yöntemleri açıklanmıştır. Beşinci bölümde, teorik yöntemlerin uygulama alanlarına yansımaları değerlendirilmiş; mekanik sistemlerden elektrik devrelerine, kuantum mekaniğinden epidemiyoloji ve ekonomi gibi disiplinlere kadar birçok farklı alanda örnek modeller sunulmuştur. Çalışmanın sonuç bölümünde, elde edilen bulguların özetlenmesi ve simetriler kullanılarak indirgeme yapılması ve diferansiyel denklemlerin tam çözüm yöntemlerinin faydalarının vurgulanmasıyla tamamlanmaktadır.