Diferansiyel operatörlerin spektral teorisi ve nümerik uygulamaları

Bu çalışma yedi bölüm olarak düzenlenmiştir. Birinci bölümde, Sturm-Liouville ve Dirac operatörlerinin spektral teorisinin (düz ve ters problemler) tarihçesi ve bu alanlarda yapılan çalışmalar ifade edilmiştir. Ayrıca tezde kullanılacak olan Adomian Ayrışım Metodu (ADM), Homotopi Analiz Metodu (HAM) ve Homotopi Pertürbasyon Metodu (HPM)' ndan bahsedilmiştir. İkinci bölümde, diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, Paley-Wiener uzayının elemanı olan fonksiyonlar sınıfından faydalanılarak regüler ve singüler Sturm-Liouville problemlerinin özdeğerleri detaylı olarak incelenmiştir. Dördüncü bölümde, Dirac operatörünün spektral teorisi açıklanmıştır. Ayrıca Paley-Wiener uzayının elemanı olan fonksiyonlar sınıfından faydalanılarak regüler kanonik Dirac denklemler sistemi için spektral sonuçlar elde edilmiştir. Beşinci bölümde, çalışmamızda kullanacağımız ADM, HAM ve HPM' larının temeli detaylı olarak verilmiştir. Altıncı bölümde, Dirac denklemler sistemine HAM ve HPM uygulanarak denklemler sisteminin nümerik çözümleri elde edilmiştir. Bu metotların hassaslıkları hakkında yorum yapılmıştır. Ayrıca elde edilen çözümlerin yakınsaklık analizleri yapılmıştır. Yedinci bölümde, Difüzyon denkleminin spektral teorisi hakkında bilgi verilmiştir. ADM, HAM ve HPM ile nümerik çözümleri elde edilen Difüzyon denklemi için metotların hassaslıkları ile ilgili yorum yapılmıştır. Anahtar Kelimeler: Özdeğer, Özfonksiyon, Sturm-Liouville Operatörü, Dirac Denklemler Sistemi, Difüzyon Operatörü, Paley-Wiener Uzayı, Adomian Ayrışım Metodu (ADM), Homotopi Analiz Metodu (HAM), Homotopi Pertürbasyon Metodu (HPM).