Theses supervised by Prof. Dr. Etibar Penahlı
15 theses · Fırat University
Diferensiyel operatörlerin spektral teorisinde kararlılık problemleri
Bu tez çalışması diferansiyel operatörlerin kararlılık teorisine önemli katkılar sağlayacaktır. Bu çalışmada ele alınan problemler için sonlu sayıda özdeğerler çakıştığında spektral fonksiyonlar ve özfonksiyonlar farkı için sonlu sınırlar elde edilmesi amaçlanmıştır. Kullandığımız yöntem ilk olarak T.I. Ryabushko tarafından [60] regüler Sturm-Liouville probleminin kararlılığını göstermek için uygulanmıştır. Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde regüler ve singüler Sturm-Liouville operatörü, Dirac ve Difüzyon operatörlerinin spektral teorisinin (ters ve düz problemler) tarihçesi verilmiştir. İkinci bölümde, diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde sık sık kullanılan bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde diferansiyel operatörler için dönüşüm operatörünün önemli uygulamaları verilmiştir. T.I. Ryabushko tarafından verilen yöntem bu tez çalışmasının orjinal bölümleri olan dördüncü, beşinci ve altıncı bölümlerde farklı denklemlere uygulanmış olup sırasıyla bu bölümler aşağıda açıklanmıştır. Dördüncü bölümde Dirac operatörü için kararlılık problemi tanımlanıp, iki spektruma göre normlaştırıcı sayılarının formülü verilerek kararlılık teoremleri ispatlanmıştır. Beşinci bölümde Bessel tipli singülerliğe sahip Sturm-Liouville operatörleri için Dirichlet sınır şartlarına sahip problem ele alınmıştır. Bu problem için iki spektruma göre kararlılık teoremleri verilmiştir. Altıncı bölümde ise ayrık sınır şartlarına sahip Difüzyon denklemi incelenmiştir. Bu problemin normlaştırıcı sayılarının iki spektruma göre ifadesi verilip, kararlılık teoremleri ispatlanmıştır. Yedinci bölümde ise tez çalışmasının sonuçları değerlendirilmiştir.
Periyodik Sturm-Liouville operatörü için düz ve ters problemler
In this research, some problems of spectral analysis for periodic Sturm-Liouville operator and periodic Dirac system are investigated and explained. Firstly, periodic, semi-periodic problems and Lyapunov function (Hill's discriminant) are defined for the Sturm-Liouville operator. Then, the solution of the inverse problem for N- zoned periodic potentials is given by different methods. Second, the canonical Dirac system with periodic potential is discussed and in this case more detailed information is given about the direct and inverse problems of spectral analysis. Especially in the case of N-zone periodic potentials, new theorem of the solution of the inverse problem is proved by making use of the transformation operator and Hill discriminant. Keywords: Sturm-Liouville Operator, Periodic and Semi-Periodic boundary conditions, Transformation Operator, General Degeneracy, Dirac operator.
Regüler ve singüler diferensiyel operatörler için farklı spektral verilere göre ters problem
Bu çalışma yedi bölümden oluşmuştur. İlk bölümde; Sturm-Liouville, Bessel, Difüzyon ve Dirac operatörlerinin spektral teorisinin tarihçesi verilmiştir. İkinci bölümde; diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde ve sunulan tezde sık sık kullanılan bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde; bir boyutlu stasyoner Dirac operatörünün genel görüntüsü ve kanonik formları, özdeğerler için asimptotik formül, kanonik Dirac operatörü için matris dönüşüm operatörü incelenmiştir. Dördüncü bölümde; Bessel diferansiyel denklemi ve temel özellikleri verilmiş, dönüşüm operatörü ve Gelfand-Levitan integral denkleminden faydalanılarak Bessel operatörü için isospektral problem incelenmiştir. Beşinci bölümde; Difüzyon operatörünün bazı fiziksel ve spektral özellikleri verilmiş ve bu operatör için isospektral problem incelenmiş ve genel durumda çekirdekler için genel dejenerelik farklı bir yöntemle elde edilmiştir. Altıncı ve yedinci bölümde aralığın iç noktasında süreksizliğe sahip Dirac operatörü için iki farklı problem ele alınmış, bu problemlerin özdeğer ve özfonksiyonları için asimptotik formüller elde edilmiştir.
Sturm-Liouville operatörünün özdeğerleri için asimptotik formüller
Bu çalışma yedi bölümden oluşmuştur. İlk bölümde; Sturm-Liouville operatörünün spektral teorisinin tarihçesi verilmiştir. İkinci bölümde; diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde ve sunulan tezde sık sık kullanılan bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde; Sturm-Liouville operatörü için genel bilgiler, regüler ve singüler Sturm-Liouville problemi, Dirichlet sınır şartı altında özdeğerler için asimptotik formül incelenmiştir. Dördüncü bölümde; singüler Sturm-Liouville probleminin özdeğerleri için asimptotik formüller ve bu problemin spektral teorisi incelenmiştir. Beşinci bölümde; Coulomb potansiyeline sahip Sturm-Liouville operatörünün Dirichlet sınır şartı altında çözüm fonksiyonu elde edilmiş ve özdeğerleri için asimptotik formül bulunmuştur. Altıncı bölümde; Difüzyon operatörünün Dirichlet sınır şartı altında çözüm fonksiyonu elde edilmiş, bu operatör için Counting Lemma ispatlanmış ve özdeğerleri için asimptotik formül bulunmuştur. Yedinci bölümde Hidrojen atom denkleminin çözüm fonksiyonları elde edilmiş ve özdeğerlerin asimptotik davranışı incelenmiştir
Diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde açılım teoremleri
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez içerisinde kullanacağımız temel tanım ve teoremlere yer verilmiş aynı zamanda Sturm-Liouville operatörünün bazı temel özellikleri incelenmiştir. İkinci bölümde Sturm-Liouville operatörü için Osilasyon Teorisi incelenmiş. Birinci ve ikinci mukayese teoremi ile Sturm osilasyon teoremi ve genel osilasyon teoremi incelenmiştir. Üçüncü bölümde integral denklemler ve sonlu farklar metodu ile açılım teoremlerinin ispatı yapılmıştır. Dördüncü bölümde Fourier-Bessel açılımı incelenmiştir.
KdV denklemi ve ters sturm-liouville problemleri için sayısal yöntemlerin uygulamaları
Beş bölümden oluşan bu çalışmanın ikinci bölümünde KdV denklemi ve Sturm-Liouville problemi ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde: Adomian Ayrışım Metodu, Homotopi Pertürbasyon Metodu ve Homotopi Analiz Metodu KdV denklemine uygulanmıştır.Dördüncü bölümde fark operatörleri tanıtılmış ve Sturm-Liouville problemine uygulanmıştır.Beşinci ve altıncı bölümlerde ise potansiyelin değişik durumlarına göre ters problemin nümerik çözümleri ele alınmıştır. Farklı öz değerlere karşılık gelen potansiyeller arasındaki farklar incelenip, bu sonuçlara göre ters problemin kararlı olup olmadığı gösterilmiştir. Dolayısıyla diferansiyel durumlar için Levitan ve Hochtadt tarafından verilen bazı teoremlerin sonuçları nümerik yöntemlerle verilmiştir.
Diferansiyel operatörlerin spektral teorisi ve nümerik uygulamaları
Bu çalışma yedi bölüm olarak düzenlenmiştir. Birinci bölümde, Sturm-Liouville ve Dirac operatörlerinin spektral teorisinin (düz ve ters problemler) tarihçesi ve bu alanlarda yapılan çalışmalar ifade edilmiştir. Ayrıca tezde kullanılacak olan Adomian Ayrışım Metodu (ADM), Homotopi Analiz Metodu (HAM) ve Homotopi Pertürbasyon Metodu (HPM)' ndan bahsedilmiştir. İkinci bölümde, diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, Paley-Wiener uzayının elemanı olan fonksiyonlar sınıfından faydalanılarak regüler ve singüler Sturm-Liouville problemlerinin özdeğerleri detaylı olarak incelenmiştir. Dördüncü bölümde, Dirac operatörünün spektral teorisi açıklanmıştır. Ayrıca Paley-Wiener uzayının elemanı olan fonksiyonlar sınıfından faydalanılarak regüler kanonik Dirac denklemler sistemi için spektral sonuçlar elde edilmiştir. Beşinci bölümde, çalışmamızda kullanacağımız ADM, HAM ve HPM' larının temeli detaylı olarak verilmiştir. Altıncı bölümde, Dirac denklemler sistemine HAM ve HPM uygulanarak denklemler sisteminin nümerik çözümleri elde edilmiştir. Bu metotların hassaslıkları hakkında yorum yapılmıştır. Ayrıca elde edilen çözümlerin yakınsaklık analizleri yapılmıştır. Yedinci bölümde, Difüzyon denkleminin spektral teorisi hakkında bilgi verilmiştir. ADM, HAM ve HPM ile nümerik çözümleri elde edilen Difüzyon denklemi için metotların hassaslıkları ile ilgili yorum yapılmıştır. Anahtar Kelimeler: Özdeğer, Özfonksiyon, Sturm-Liouville Operatörü, Dirac Denklemler Sistemi, Difüzyon Operatörü, Paley-Wiener Uzayı, Adomian Ayrışım Metodu (ADM), Homotopi Analiz Metodu (HAM), Homotopi Pertürbasyon Metodu (HPM).
Singüler Dirac operatörünün spektral teorisi
Bu çalışma yedi bölümden oluşmuştur.İlk bölümde; regüler Sturm-Liouville ve Dirac operatörlerinin, spektral teorisinin (düz ve ters problemler) tarihçesi verilmiştir.İkinci bölümde; diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde sık sık kullanılan bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde; bir boyutlu stasyoner Dirac operatörünün genel görüntüsü ve kanonik formları, özdeğerler için asimptotik formül, kanonik Dirac operatörü için matris dönüşüm operatörü, normlaştırıcı sayıların iki spektrum türünden ifadesi, normlaştırıcı sayılar için asimptotik formül ve iki spektruma göre ters problem incelenmiştir.Dördüncü bölümde; singüler Dirac operatörü, iki spektruma göre ters problem, normlaştırıcı sayılar için asimptotik ifadeler elde edilmiştir.Beşinci bölümde; yarı eksende Dirac operatörü için iki spektruma göre ters problem incelenmiştir.Altıncı ve yedinci bölümler çalışmanın orijinal kısmı olup bu bölümlerde sırasıyla singüler Dirac operatörü için dönüşüm operatörünün genel dejenereliği ve kararlılık problemi incelenmiştirAnahtar Kelimeler: Spektrum, Ters problem, Dirac operatörü, Özdeğer, Özvektör fonksiyon, Genel dejenere, Kararlılık.
İki spektruma göre sturm-lıouvılle operatörünün tanımlanması
Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde literatür taraması yapılmış ve çalıştığımız konuların başlangıcı ve tarihsel gelişimi incelenmiştir. İkinci bölümde diferensiyel operatörlerin spektral teorisinde sık kullanılan temel tanım ve bazı teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde klasik Sturm-Liouville denklemi ve bu denklemin özfonksiyonlara göre seriye açılımı verilmiş, ayrıca klasik Fourier integrali incelenmiştir. Dördüncü bölümde Fourier-Bessel seri açılımı ve Fourier-Hankel integral açılımı verilmiştir. Beşinci bölümde Legendre polinomları tanımlanmıştır. Bu polinom fonksiyonların ortogonalliği gösterilip özdeğer ve normalleştirici özfonksiyonları incelenmiştir. Altıncı bölümde Sturm-Liouville operatörü ve lineer sönümlü dalga denklemi (difüzyon operatörü) için iz formülü hesaplanmıştır. Anahtar Kelimeler: Sturm-Liouville problemi, özdeğer, özfonksiyon, Legendre fonsiyonları, Bessel fonksiyonları, iz formülleri.
İki spektruma göre sturm-liouville operatörünün tanımlanmasının kararlılığı
Birinci bölümde diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde ve tezde kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde spektral fonksiyona göre Sturm-Liouville operatörü için karalılık problemi araştırılmıştır. Üçüncü bölümde diferansiyel operatörler için dönüşüm operatörü tanımlanmış ve basit özellikleri ispatlanmıştır. Ayrıca Sturm-Liouville operatörleri için dönüşüm operatörünün varlığı gösterilmiş ve bazı uygulamaları açıklanmıştır. Dördüncü bölümde iki spektruma göre normlaştırıcı sayıların tanımlanması incelenmiştir. Beşinci bölümde iki spektruma göre Sturm-Liouville operatörünün tanımlanmasını karalılığına ilişkin bazı sonuçlar ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Sturm-Liouville problemi, spektrum, spektral fonksiyon, dönüşüm operatörü
Regüler ve singüler diferensiyel operatörler için iki spektruma göre ters problem
Diferensiyel operatörlerin spektral teorisinde, spektral veriler kullanılarak potansiyel fonksiyonun bulunması problemi ters problem olarak adlandırılır. Eğer bu ters problemin spektral karekteristikleri, aralarındaki fark yeterince küçük olacak şekilde, değiştirildiğinde potansiyellerinin farkı da yeterince küçük kalıyorsa bu problem kararlıdır denir.Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde; Sturm-Liouville, Dirac ve difüzyon operatörlerinin spektral teorisinin tarih-çesi verilmiştir.İkinci bölümde; diferensiyel operatörlerin spektral teorisinde ve sunulan tezde sık sık kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde; Sturm-Liouville operatörü için özdeğer ve özfonksiyonların asimptotik formülleri, özfonksiyonların ortogonalliği, özdeğerlerin reel olduğu ve dönüşüm operatörü gösterilmiştir. Ayrıca potansiyeller farkı için formül verilmiştir.Dördüncü ve beşinci bölümde; sırasıyla Dirac ve difüzyon operatörü için ters problemin kararlılığını araştırılmış, potansiyel farkları için bazı formüller bulunmuştur.Anahtar Kelimeler: Spektrum, Ters Sturm-Liouville problemi, Dirac operatörü, Difüzyon operatörü, Kararlılık.
Potansiyel teori ve uygulamaları
Bu çalı¸sma be¸s bölümden olu¸smaktadır.Birinci bölümde okuyucuya yardımcı olacak temel tanımlara yer verilmi¸stir.?Ikinci bölümde potansiyel teoriye giri¸s ba¸slı?gı altında basit tabakanın newtonpotansiyelleri, çift tabakanın newton potansiyelleri, basit ve çift tabakanın logaritmikpotansiyelleri konularına yer verilmi¸stir.Üçüncü bölümde potansiyel teorinin esas denklemleri ba¸slı?gı altında laplace diferansiyeldenklemi ve poisson denklemine yer verilmi¸stir.Dördüncü bölümde Laplace Green formülleri ile harmonik fonksiyonların genelözellikleri ve potansiyellerin sonsuzluktaki durumu ve süreksizlik özellikleri, sonolarak da beşinci bölümde logaritmik potansiyel için ters problem ve ters probleminçözümünün aprior de?gerlendirilmesi yer almıştır. Ayrıca yoğunluk modülükaynagında kısıtlanan ters logaritmik potansiyel problemin bir çözümünün varlığıiçin gerek ve yeter koşullarda tanımı elde edilmiştir.
Operatörlerin spektral teorisinde açılım ve salınım teoremleri
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde okuyucuya yardımcı olabilecek Sturm-Liouville Problemi'ni tanıtıcı temel tanımlara ve teoremlere yer verilmiştir. Sturm-Liouville Problemi'nin özdeğer ve özfonksiyonları ile ilgili örnekler incelenmiştir. İkinci bölümde Mukayese Teoremleri ayrıntılı olarak incelenmiştir. Üçüncü bölümde Genel Osilasyon Teorisi'nin fiziksel yorumlarına yer verilmiştir. Dördüncü bölümde ise İntegral Denklemler Yöntemi ile Açılım Teoremi ispatlanmıştır.
Diferensiyel operatörler için yarı ters problemler
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.İlk bölümde; Sturm-Liouville ve Dirac operatörlerinin spektral teorisinin(düz ve ters problemler) tarihçesi verilmiştir.İkinci bölümde; diferensiyel operatörlerin spektral teorisinde ve sunulan tezde sık sık kullanılan bazı temel tanımlar verilmiştir.Üçüncü bölümde; sonlu aralıkta Sturm-Liouville denklemi için yarı ters problemler verilmiştir.Dördüncü bölüm çalışmanın orijinal kısmı olup bu bölümde klasik Sturm-Liouville denklemi için isospektral problem verilip Dirac sistemi için isospektral problem incelenmiştir.Anahtar Kelimeler: Sturm-Liouville Denklemi, Yarı Ters Problem, Gelfand-Levitan İntegral Denklemi, Dönüşüm Operatörü, İsospektral Problem, Dirac Sistemi.
Singüler diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde açılım problemleri üzerine
Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, diferansiyel operatörlerin Spektral teorisinde sık kullanılan bazı tanım ve teoremler verilmiştir.İkinci bölümde Legendre Fonksiyonları incelenmiş, bazı fonksiyonlarla ilişkisi,açılım formülleri ve asimptotik formüller üzerinde durulmuştur.Üçüncü bölümde ise Klasik Fourier İntegrali incelenmiş, Fourier-Bessel seri açılımları, Fourier-Hankel integral açılımı açıklanmış, ortogonal Cebysev-Hermite fonksiyonlarına değinilmiş ve Cebysev-Laguerre polinomlarının açılımları verilmiştir.Anahtar kelimeler: Sturm-Liouville Problemi, özdeğer, özfonksiyon, Legendre fonsiyonları, Bessel fonksiyonları