Dörtgensel NEC grupları

H ve D hiperbolik düzlemin üst yarı düzlem modeli ve birim daire modeli olarak adlandırılan iki farklı modelidir. Hiperbolik düzlemin izometrileri ötelemeler, dönmeler, yansımalar, ötelemeli yansımalar ve limit rotasyonlar olarak adlandırılan homeomorfizmalardan oluşur. Bunlardan yansımalar ve ötelemeli yansımalar yönlenmeyi korumayan izometriler, diğerleri ise yönlenmeyi koruyan izometrilerdir. Yönlenmeyi koruyan izometriler çift sayıda yansımanın, yönlenmeyi korumayan izometriler tek sayıda yansımanın bileşkesi olarak yazılabilirler. Hiperbolik düzlemin bütün izometrileri fonksiyonların bileşke işlemine göre bir grup oluşturur ve bu grup PGL(2,R) ile gösterilir. PGL(2,R) grubunun bölüm uzayı kompakt olan herhangi bir ayrık alt grubu bir NEC grubudur. İç açıları; k,l,m ikiden büyük tamsayılar olmak üzere ? / k, ? / l, ? / m olan bir hiperbolik üçgenin kenarları üzerindeki yansımalar bir NEC grubu üretir. Bu şekilde elde edilen bir NEC grubuna bir üçgensel NEC grubu denir. Benzer şekilde iç açıları; s, t, u, v ikiden büyük pozitif tamsayılar olmak üzere ? / s, ? / t, ? / u, ? / v olan hiperbolik dörtgenin kenarları üzerindeki yansımalar da bir NEC grubu üretir. Bu şekilde elde edilen bir grup dörtgensel NEC grubu olarak adlandırılır. Yukarıdaki özelliklere sahip bir hiperbolik dörtgeni ele alalım. Bu dörtgenin kenarları üzerindeki yansımalar tarafından üretilen dörtgensel NEC grubunun elemanları altında bu dörtgenin görüntüleri ele alınırsa hiperbolik düzlem dörtgenlere ayrılmış olur. Bu özellikteki dörtgenlerin kümesine hiperbolik düzlemin bir kaplaması denir. Benzer şekilde bir üçgensel NEC grubu yardımıyla da hiperbolik düzlemin bir kaplaması elde edilebilir. ? ve ?^ grupları sırasıyla dörtgensel ve üçgensel NEC grupları olsunlar. Eğer ? grubu ?^ grubunun k indeksli bir alt grubu ise hiperbolik düzlemin dörtgenler ile elde edilen kaplamasının herbir hücresi k tane üçgene bölünebilir ve hiperbolik düzlemin bu özellikteki iki kaplamasına bölünebilir kaplama ikilisi denir.Bu tezde dörtgensel NEC grupları tanımlanmış, üçgensel ve dörtgensel NEC grupları arasındaki bazı cebirsel ve geometrik ilişkiler incelenmiştir.