Genelleştirilmiş dönüşüm yarıgrupları ve kısıtlanmış imaj

X ve Y iki boştan farklı (ayrık) kümeler ve GT(X,Y) ile X den Y ye tüm (tam) dönüşümlerin kümesini gösterelim. Herhangi bir sabitlenmiş θ: Y→X dönüşümü için, GT(X,Y) üzerindeki * sandviç işlemini, her α,β∈GT(X,Y) için α*β=α∘θ∘β olarak tanımlayalım. O zaman GT(X,Y) kümesi * sandviç işlemi ile birlikte bir yarıgrup olup bu yarıgruba genelleştirilmiş dönüşüm yarıgrubu denir ve GT(X,Y;θ) ile gösterilir. T(Z) ile Z=X∪Y kümesi üzerindeki tüm dönüşümlerin yarıgrubunu gösterelim. Bu tezde, ilk olarak GT(X,Y;θ) kümesinin, T(Z) nin bir alt yarıgrubu olan kısıtlanmış imaj ile dönüşümler yarıgrubu Τ(Z,Y)= {α∈Τ(Z): Zα ⊆Y } nin içine gömülebildiğini gösterdik. Üstelik, eğer θ: Y→X birebir ise o zaman GT(X,Y;θ) ve Τ(X, im(θ)) in izomorfik yarıgruplar olduğunu gösterdik. Bunlara ek olarak aşağıdaki ana sonucumuzu ifade ettik: Eğer m, n, r∈N ve S(m,n) ikinci tip Stirling sayısı olmak üzere |X|=m, |Y|=n, ve |im(θ)|=r ise rank(GT(X,Y;θ))={█(∑_(k=r+1)^(min(m,n))▒〖n!S(m,k)/(n-k)! 〗 eğer θ ne örten nede 1-1 @ @ @(n¦m) eğer θ örten fakat 1-1 değil @ @ @ S(m,r) eğer θ 1-1 ve 1≤r≤m-1)┤ olduğunu gösterdik.