Grafiksel modüler uzaylarda bazı yeni yaklaşımlar

Sabit nokta kavramı matematikte bir fonksiyonun uygulandığı bir noktayı değiştirmediği durumları inceleyen önemli bir yapıdır. Bir 𝑆 fonksiyonu için 𝑆(ℑ) = ℑ eşitliğini sağlayan ℑ noktalarına sabit nokta denir. Bu teori özellikle analiz, topoloji, diferansiyel denklemler ve nümerik analiz gibi birçok alanda kullanılır. Sabit nokta bulmak bazen denklemlerin çözümü ile eşdeğer olur ve bu da teoriyi hem teorik hemde uygulamalı alanlarda değerli kılar. Metrik sabit nokta teorisi, matematiksel analiz ve topolojinin önemli bir dalı olup, metrik uzaylarda tanımlanan dönüşümlerin sabit noktalarının varlığını ve özelliklerini incelemektedir. Bu teori, Banach'ın sabit nokta teoremi ile başlamış ve zamanla genişleyerek birçok farklı alanda uygulanabilir hale gelmiştir. Uzaklık fonksiyonunun değiştirilmesi, var olan fonksiyondan bazı özelliklerin çıkarılması ya da yeni özelliklerin eklenmesi ile literatüre birçok yeni topolojik yapı girmiştir. Banach'ın sabit nokta teoremi ile başlayan bu teori, zamanla genişleyerek birçok farklı alanda uygulanabilir hale gelmiştir ve modern matematiğin vazgeçilmez bir parçası olmuştur. Toplanabilirlik teorisi, dizi uzayları, bulanık teori, Banach uzaylarının geometrisi gibi matematiği ilgilendiren uygulamaların yanı sıra mühendislikten uzay bilimine hidromekanikten astrofiziğe, kimyadan biyolojiye, teorik mekanikten biyomekaniğe ve ekonomiden stokastik oyun teorisine kadar disiplinler arası alanlarda geniş bir yelpazede uygulama sahasına sahip olduğundan metrik sabit nokta teori bu yeni metrik yapıları ile oldukça zengin bir hale gelmiştir. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Bir ve ikinci bölümler literatür taraması şeklinde iken üçüncü ve dördüncü bölüm tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Birinci bölümünde metrik sabit nokta teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmektedir. Ayrıca metrik uzayları genelleyen çeşitli uzayların tanımları yapılmış ve özellikleri incelenmiştir. Bir çok araştırmacının ortaya koyduğu Banach daralma prensibinin ya da bir diğer ifade ile Banach sabit nokta teoreminin genellemeleri olarak ya metriğin üzerindeki şartların değiştirilerek yeni uzayların oluşturulması, ya da dönüşümler üzerindeki daralma şartlarının değiştirilerek literatüre kazandırılması amaçlanmıştır. İkinci bölümde ise çalışmanın devamında kullanılan bazı genel metrik yapılarına ve bu yapıların özelliklerine yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, grafiksel modüler metrik ve archimedean olmayan grafiksel modüler metrik uzay tanımlanmıştır. Ayrıca modüler-Banach, modüler-Kannan ve modüler-Reich daralma dönüşümleri tanımlanarak ilgili sabit nokta teoremleri ispatlanmıştır. Ayrıca elde edilen sabit nokta teoremlerinin piyasa denge problemine uygulaması verilmiştir. Son bölümde ise çalışmada elde edilen sonuçlara ve literatüre kazandırılan yapıların uygulanabirliği ile ilgili önerilere yer verilmiştir.