Grup genişlemeleri problemine homolojik cebir uygulaması

ÖZET Genel olarak E bir grup, A da E 'nin abelyen normal altgrubu ve G = E/A olduğunda E grubu A 'nın G ile bir genişlemesidir deriz. Bu durum 0 > A > E > G > 1 şeklinde tam bir dizinin varlısı ile eşdeğerdir. A 'nın G ile olan genişlemesi G 'den Aut(A) 'ya bir homomorfizm belirler. Bu ise A için bir Z(G) -modül yapısı verir. [,]: GxG > A olan her x,y,z?G için i) [x,ll = [l,x] = 0 ve ii) x.ty,z] - [ xy,z] + [x,yz] - [x,y]n =0 koşullarını sağlayan fonksiyonların kümesine Normal leştir i İmiş Faktör Kümesi denir ve bu kümenin elemanları " cocycles " olarak isimlendirildi. < >: G > A, <1> = 0 koşulunu sağlayan bir dönüşüm olduğunda f:GxG > A f(x,y) = x. - + olarak tanımlanan f fonksiyonuna Normalleştirilmiş Olmayan Faktör Kümesi denir ve bu fonksiyonların oluşturduğu kümenin elemanları "coboundaries " olarak isimlendirildi. e(G,A) = Z2Kt/B2KT ile tanımlı grubun elemanlarının, A' nın G ile genişlemelerinin eşlik sınıflarına karşılık geldiği gösterildi. Daha sonra e(G,A) a H2(G,A) izomorf izmi ispatlanıp bilinen bazı teoremler yardımıyle H2(G,A), dolayısıyla A' nın G ile genişlemeleri bulunmuş oldu.