İspat imajının dinamiklerinin sonsuz kümelerin denkliği bağlamında incelenmesi

İspatlama aktivitelerinin hem matematikçiler hem de matematik eğitimcileri açısından önemli bir aktivite olduğu söylenebilir. Bu nedenle ileri düzey matematikte ispatlama yeteneğinin geliştirilmesi birçok dersin amaçları arasında yer almaktadır. Bununla birlikte ispatlamanın önemine sıklıkla vurgu yapılmasına rağmen araştırmalar üniversite öğrencilerinin bu konuda güçlük çektiğini göstermektedir. Bu güçlüklerin aşılabilmesi ve ispatın karmaşık yapısının anlamlandırılabilmesi için pek çok teorik çerçeve sunulmuştur. Ancak bu çerçevelerden çok azının ispatlama aktivitesine bir süreç bakış açısı ile yaklaştığı söylenebilir. Diğer yandan ispatlamaya bilgi oluşturma perspektifinden yaklaşan ve bu süreçteki sezgisel-mantıksal etkileşimi mikro-analitik düzeyde inceleyen Kidron & Dreyfus (2014) Bağlamda Soyutlama (AiC) teorik çatısı kapsamında RBC soyutlama teorisinden de yararlanarak ispat imajı kavramına ulaşmıştır. Ancak aradan geçen zamana rağmen bu teorik çerçeve ile ilgili araştırmaların yeterli sayıya ulaşamadığı görülmektedir. Bununla birlikte yazarların da belirttiği gibi bu çerçevede derinleşmenin sağlanabilmesi için daha çok araştırma yapılması gerektiği açıktır. Çünkü ispatlama sürecinin önemli bir boyutunu oluşturan "ispat imajı" yapısının anlamlandırılması ile dinamikleri arasındaki çok boyutlu yapının çözümlenebileceği ve bu sayede ortaya çıkan güçlüklerin önüne geçilebileceği düşünülebilir. Bu perspektif doğrultusunda tasarlanan doktora çalışması ile ispat imajına ilişkin anlayışın derinleştirilmesi ve teorik çerçevede açık bırakılan noktalara ışık tutulması amaçlanmıştır. Kidron & Dreyfus' un (2014) görüşleri ve buna ek olarak uygulamalarda ortaya çıkan eksiklikler de dikkate alınarak bu çalışmada "ispat imajı ile formal ispat arasındaki ilişki", "ispat imajının düzeyleri" ve "ispat imajının sosyo-kültürel boyutu" başlıkları incelenmiştir. Çalışmada ilköğretim matematik öğretmenliği bölümünde 2. sınıfa devam eden öğretmen adayları, amaçlı örnekleme yöntemlerinden ölçüt örnekleme yöntemi kullanılarak seçilmiştir. Bu düzeyin tercih edilmesinin nedeni Cantor Küme Teorisi ve "sonsuzluk" ile ilgili konuların bu düzeyde yer almasıdır. Sonsuzluk konusunun ispat imajı incelemeleri için uygun bir bağlam olduğu düşünülmüştür. Çünkü literatürdeki pek çok çalışma, öğretmen adaylarının sonsuzluk ile ilgili anlayışlarının tıpkı ispat imajında olduğu gibi sezgiselden formele doğru gelişim gösterdiğini ifade etmektedir. Çalışmada nitel araştırma desenlerinden durum çalışması (ilk iki alt problem) ile söylem analizi (üçüncü alt problem) birlikte kullanılmıştır. Bununla birlikte etkinlik temelli mülakatlarda veri toplama aracı olarak Pala (2016) tarafından geliştirilen bireysel görüşme formlarından yararlanılmıştır. Diğer yandan veriler analiz edilirken ilk iki soruda betimsel analiz ve üçüncü soruda sosyo-kültürel etkileşim perspektifi ile söylem çözümlememesi tekniğinden yararlanılmıştır. Çalışmanın birinci alt problemine ilişkin analizler sonucunda ispat imajının formal ispata ulaşmak için bir kesinlik sağlamayacağı belirlenmiştir. Pek çok uygulamada bireylerin bir ispat imajı oluşturabildikleri halde formal ispata geçiş yapamadıkları görülmüştür. Bu durumun olası sebepleri alt bileşenler bağlamında detaylı olarak tartışılmıştır. Bununla birlikte bir ispat imajına sahip olan bireylerin formal ispata ulaşamamasında öne çıkan sebeplerden bazıları kavramsal bilgi eksikliği, sezgisel varsayımlara ya da kabullere sıkça yer verilmesi, teoremin olduğundan daha kısıtlı algılanması şeklinde sıralanabilir. Çalışmanın ikinci alt problemi bağlamında ispat imajı ile formal ispat arasında ortaya çıkan durumların tamamı formal bilginin rolü bağlamında ayrı ayrı yorumlanmıştır. Böylece ispat imajını içeren ve içermeyen durumlar için 4 farklı durum belirlenmiştir. İspat imajı içeren durumların "formal ispat ile sonuçlanan" ve "kısmi doğrulamalar ile sonuçlanan" iki sonucunun olduğu görülmüştür. Bununla birlikte ispat imajı içermeyen durumların ise ya sadece mantıksal bağlantıları içeren ezber ve tekrar gibi uygulamalardan (Tip 1) ya da kişisel anlayışa dayalı mantıksal bağlantıları içeren yetersiz gerekçelendirmelerden (Tip 2) kaynaklanabileceği görülmüştür. Son olarak çalışmanın üçüncü alt problemi bağlamında etkileşimli ispat süreci gerçekleştirilmiş ve elde edilen veriler üzerinde söylem çözümlemesi yapılmıştır. Bu bağlamda katılımcıların ispat süreçlerine etki eden 9 farklı söylem biçimi belirlenmiştir. Bu söylem biçimleri "1. Soru sorma, 2. Kavramlar hakkında tanım yapma, 3. Ön bilgi hatırlatma, 4. İspat yöntemi-yaklaşımı önerme, 5. Doğrulayıcı veya yanlışlayıcı bir örnek sunma, 6. Yorum veya açıklama yapma, 7. Çıkarımda bulunma, 8. Duyuşsal deneyimlerin dışa vurumu, 9. Tahminde ya da öngörüde bulunma" olarak kodlanmıştır. Ayrıca, transkripsiyon metni üzerindeki ilişkiden hareketle ispat imajının her bir bileşeni ile bağlantılı olduğu söylem biçimleri belirlenmiştir. Sonuç olarak söylemlerin ve formal bilginin ispat imajının oluşumuna katkıları maddeler halinde sınıflanmış ve ispat imajını içeren ispat uygulamaları için öneriler sunulmuştur.