Kesirli mertebeden değişken katsayılı diferansiyel denklem ve denklem sistemleri için fermat sıralama metodu ve residüel hata analizi

Bilindiği üzere kesirli diferansiyel denklemlerin tam çözümleme noktasında farklı zorluklar oluşabilmektedir. Bu zorluklar genel olarak denklemlerin yapısal özellikleri gereği tanım bölgesinde integrallenememe veya lineer olmama gibi durumlarla karşımıza çıkmaktadır. Tezde amaçlanan tanım(çözüm) bölgelerinde belirli özelliğe sahip kesirli diferansiyel denklemler cebirsel denklemlere indirgenerek Fermat polinomu çözümleri elde etmektir. Bu amaçla duruma göre sayısal integral veya sayısal türevden yararlanıldı. Daha sonra kesirli diferansiyel denklemin başlangıç şartları, sınır şartları, başlangıç-sınır şartları veya karışık şartlarının verildiği özel problemin çözümü için, bir önceki adımda bulunan denklem sistemine bu bilgiler işlendi, böylelikle cebirsel denklem sistemi için nihai bir form elde edilmiş olundu. İşte bu denklem sisteminin çözümünün olması durumunda bu çözüm istenilen şartları sağlayan kesirli diferansiyel denklemin çözümünü yazmak için gerekli olan katsayıları vermiş oldu. Elde edilen katsayıların önerdiğimiz çözüm polinomunda yerine yazılması ile yarı-analitik olan Fermat polinom yapısında bir çözüm elde edilmiş oldu. Kesirli diferansiyel denklemin tam çözümlerinin olması durumunda elde edilen bu polinomun tam çözüme ne kadar yaklaştığı ve yaklaşımdaki maksimum hata belirlendi. Bunun yanında hatanın optimize edilerek en aza indirilebilmesi için çözüm polinomuna kalıntı fonksiyonu eklenerek daha hassas sayısal çözümler arandı. Bahsettiğimiz adımlar teorik olarak öncelikle gösterildi daha sonra Maple programı kullanılarak geliştirilen bir algoritma ile nümerik çözümlere ulaşıldı.