Diferensiyel denklemler
Bu konu başlığı altında 71 tez
Mittag-Leffler çekirdekli kesirli diferansiyel denklemlerin Laplace ve sumudu dönüşümleri ile çözümleri
Kesirli analizin önemli operatörlerinden olan Riemann-Liouville ve Caputo operatörleri ile tekil olmayan Mittag-Leffler çekirdekli Atangana-Baleanu kesirli operatörü arasındaki ilişkiye bakılarak bu türevleri içeren kesirli diferansiyel denklemlerin Laplace ve Sumudu dönüşümleri yardımıyla çözümleri verilmiştir. Ayrıca uygun başlangıç koşulları verilen sabit katsayılı lineer adi diferansiyel denklemler ile kısmi diferansiyel denklemlere de bu dönüşümler uygulanmıştır. Dönüşümlerin birbirine olan benzer ve üstün yönlerinden bahsedilmiştir. Tez 8 bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde, kesirli analizde kullanılan temel tanım ve teoremlerden bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde temel fonksiyonlardan Gamma, Beta ve Mittag-Leffler fonksiyonu tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde Riemann-Liouville, Caputo, Caputo-Fabrizio ve Atangana- Baleanu kesirli türevleri tanıtılmıştır. Beşinci bölümde Laplace ve Sumudu dönüşümlerinden bahsedilmiştir. Altıncı bölümde adi, kısmi ve kesirli türev içeren diferansiyel denklemlere Laplace ve Sumudu dönüşümü uygulama örnekleri verilmiştir. Yedinci bölümde bazı lineer kesirli diferansiyel denklemlere Sumudu dönüşümü uygulanmış ve grafikleri yorumlanmıştır. Sekizinci bölümde sonuçlardan bahsedilmiştir. Anahtar Kelimeler: Atangana-Baleanu kesirli türevi, Kesirli Diferansiyel Denklemler, Laplace dönüşümü, Mittag-Leffler çekirdeği, Tekil olmayan çekirdek, Sumudu dönüşümü
İkinci mertebeden doğrusal olmayan dinamik sistemlerin RLC devre sistemleri ile kalitatif analizi
Bu tez çalışmasında, ikinci mertebeden doğrusal olmayan ve zamanla değişen bazı dinamik sistemlerin Lyapunov kararlılığı ve pasiflik problemleri ele alınmıştır. Bu çalışma başlıca devre teorisi yaklaşımına ve Lyapunov'un direk metoduna dayanmaktadır. RLC devre elemanlıyla yapılabilecek ya da ifade edilebilecek bazı ikinci mertebeden sistemlere fiziksel anlam yükleyerek karalılık ve pasiflik analizini geliştirmektir. Yani, RLC devre elemanları kullanılarak elektriksel devre modellerini oluşturmak ve daha sonra Lyapunov 'un doğrudan yöntemiyle sistemlerin niteliksel davranışlarını belirlemektir. Lyapunov 'un doğrudan yönteminin, doğrusal olmayan sistemlerin kararlılık analizi için yeri doldurulamaz olduğu literatürde kanıtlanmıştır. Doğrusal olmayan sistemler için aday Lyapunov veya enerji fonksiyonun inşası için kesin bir yöntem ve algoritma olmadığından Lyapunov fonksiyonun inşası zordur. Yani bir sistem için pozitif tanımlı ve türevinin negatif olacak şekilde bir Lyapunov fonksiyonu bulunmayabilir. Modellenen elektrik devresinde güç-enerji ilişkisi kullanılarak Lyapunov fonksiyonu inşası yapılmıştır. RLC Devreleri enerji tüketen sistemlerdir ve devre teorisinin güç-enerji ilişkisine dayanan bu tür devrelerin enerji depolama (aday Lyapunov) fonksiyonlarının inşası, seçilen aday Lyapunov fonksiyonlarından daha uygulanabilir ve aynı zamanda somut olduğunu örneklerle gösterilmiştir. Verilen bir sistemi elektriksel devre olarak ele almak avantaj sağlar çünkü sistemin enerjisi ve türevi sistemin dinamik davranışını belirler. Modellenen elektriksel devre modellinde ikinci mertebeden üç adet doğrusal olmayan eleman içerebilir ve bu da literatürdeki söz konusu olan ikinci mertebeden diferansiyel denklemleri genelleştirebilir. Ayrıca devre teorisi yaklaşımı kullanılarak, literatürde iyi bilinen ikinci mertebeden bazı diferansiyel denklemlerin Lyapunov kararlılıklarını hem geliştirmiş hem de birleştirilmiştir. Ele alınan her sistemin devre teorisi yaklaşımıyla Lyapunov veya enerji fonksiyonunu inşası için güç-enerji ilişkisini kullanılmıştır ayrıca Lyapunov fonksiyonun yönlü türevi sistemde tüketilen gücün negatif değerini vermektedir. Bu iki tekniğe literatürde seyrek olarak rastlanılmaktadır. Böylece önerilen yaklaşım ilgili Lyapunov fonksiyonlarının türevini basitleştirir. Lyapunov fonksiyonun inşasını sistemin fiziksek anlamı bakımından belirlemek için önerilen bu yaklaşım mevcut sonuçları birleştirebilir.
Kesirli diferansiyel denklemlerin integral dönüşümleri ile analizi
Tez 9 bölüm olarak düzenlenmiştir. Birinci bölümde kesirli diferansiyel denklemler ve integral dönüşümleri ile ilgili genel bilgi verilmiştir. İkinci bölümde temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde özel fonksiyonlardan olan Gamma fonksiyonu, Beta fonksiyonu ve Mittag-Leffler fonksiyonu tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde Laplace, Sumudu, Elzaki, Natural, Aboodh, α-İntegral Laplace, Pourreza, Mohand, Sawi, Kamal ve G-dönüşümü gibi farklı dönüşümler tanıtılmıştır ve bu dönüşümlerin temel özelliklerine yer verilmiştir. Beşinci bölümde kesirli türev ve integrallerden Riemann-Liouville kesirli türevi, Caputo kesirli türevi ve Caputo anlamında Atangana-Baleanu kesirli türevi tanıtılmıştır. Altıncı bölümde Caputo kesirli türevinin integral dönüşümleri ile uygulamalarına yer verilmiştir. Yedinci bölümde Mittag-Leffler fonksiyonunun integral dönüşümleri ile uygulamalarına yer verilmiştir. Sekizinci bölümde Caputo anlamında Atangana-Baleanu kesirli türevinin integral dönüşümleri ile uygulamalarına yer verilmiştir. Dokuzuncu bölümde ise sonuç verilmiştir.
Belirli singüler pertürbe özellikli reaksiyon-difüzyon problem sınıfının nümerik çözümleri
Bu tezde, reaksiyon-difüzyon tipli, ikinci mertebeden singüler pertürbe özellikli sınır değer problemleri ele alındı. İlk önce lineer durumdaki problem, daha sonra lineer olmayan (yarı-lineer) problem ve son olarak lineer gecikmeli problem ele alınmıştır. Ele alınan her üç denklem sınıfında da öncelikle sürekli problemin özellikleri verilmiş, daha sonra pertürbe teorisi ve kuadratür formülleri yardımıyla sonlu fark şemaları oluşturulmuştur. Bu problemlerin her biri için uygun Numerov metoduna dayalı fark şemaları verilmiştir. Fark şemalarının kararlılığı incelenmiş, hata analizleri yapılmıştır. Bütün bu teorik çalışmalar literatür örnekleriyle desteklenmiş, nümerik sonuçlar çözüm eğrileri ile tablolar halinde sunulmuştur. Anahtar kelimeler: Düzgün yakınsaklık, Gecikmeli diferensiyel denklemler, Numerov metodu, Sınır katmanları, Shishkin şebeke, Singüler pertürbe problemleri, Sonlu fark şeması.
Kesirli diferansiyel denklemlerin seri çözümleri
Bu tez yedi ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde kesirli analizin gelişimine değinilmiş ve literatürde kesirli diferansiyel denklemlere uygulanan yöntemler hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, bazı özel fonksiyonlar verilmiştir. Üçüncü bölümde kesirli diferansiyel denklemlerin çözümleri için kesirli türev ve kesirli integrallere yer verilmiştir. Dördüncü bölümde rezidual kuvvet serisi metodu tanımlanmıştır ve rezidual kuvvet serisi metodu kesirli kısmi diferansiyel denklemlere ve denklem sistemlerine uygulanmıştır. Beşinci bölümde sınırlı kesirli diferansiyel dönüşüm yöntemi verilmiştir ve kesirli diferansiyel denklemlere uygulanmıştır. Altıncı bölümde Adomian ayrıştırma yöntemi verilmiş lineer olmayan kesirli diferansiyel denklemlere uygulanmış ve yaklaşık çözümler elde edilmiştir. Aynı zamanda uyumlu kesirli lineer olmayan Lane-Emden diferansiyel denkleminin Adomian polinomları cinsinden seri çözümleri elde edilmiştir. Yedinci bölümde lineer olmayan kesirli diferansiyel denklem için Taylor serisi açılımına uygun seri çözüm yöntemi verilmiştir.
Adaptive boundary control using backstepping for 1D variable length string-mass system under disturbances
In this thesis, an adaptive boundary control using delayed control methodology for a 1D wave equation is examined. The outlined problem is applied in the control of an ideal string-mass system with constant or time-varying length. The dynamics of the system, which constitutes the basis for the control problem, is first derived using the extended Hamilton's Principle. The resulting wave PDE is then transformed into two decoupled hyperbolic equations using the method of characteristics. The solution of the characteristic equation allows one to project the input signal at one boundary onto the dynamics describing the other boundary. Here, the input appears with an explicit delay. If the domain is characterized by a moving boundary, i.e., the length of the string is non-constant, the delay is time-varying. The problem then becomes that of control of a linear ODE with an input delay. Afterward, the transport PDE representation is used to re-express the delay in terms of a PDE's boundary value resulting in an ODE-PDE cascade system. The backstepping transformation then gives the control law and transforms the system into the target system characterized by favorable control properties. The only feedback required for the control is the boundary measurements. Thereafter, Lyapunov's theory is used in the stability analysis. Any unknown in-domain or boundary disturbances, as well as uncertain boundary parameters, are handled using the adaptive control strategies. The dynamics of the string-mass system and the performance of the derived controllers are illustrated using numerical simulations. This is followed by a case study where the deployment and control of an underwater sensor in the presence of the water waves are simulated.
Diferensiyel içermelerin çözümlerinin varlığı ve özellikleri
ÖZET Yüksek Lisans Tezi DİFERANSİYEL İÇERMELERİN ÇÖZÜMLERİNİN VARLIĞI VE ÖZELLİKLERİ SERPİL IZGI Anadolu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Mahide Küçük 2001, Sayfa 81 Bu çalışmada diferansiyel içermelerin çözümlerinin varlığı araştırılmıştır. Bu amaçla önce diğer bölümlerde kullanılan temel tanım ve teoremler sunulmuştur, ikinci bölümde sağ tarafı konveks kompakt değerli küme değerli dönüşüm olan diferansiyel içermeler için Cauchy probleminin çözümünün varlığı kamtlanmıştır. Üçüncü bölümde Cauchy problerninin çözümler kümesinin, erişim kümesinin ve in tegral tünelinin kapalılık ve kompaktkğı ile ilgili teoremler kanıtlanıp; çözümlerin bir yerel özelliği incelenmiştir. Son bölümde ise sağ taran konveks değerli olmayan diferansiyel içermelerin regülarizasyonu ve bu tür diferansiyel içermeler için Cauchy problenıinin çözümünün varlığı araştırılmıştır. Bu bölümün son kesimi diferansiyel içermelerin çözümleriyle ilgili bir araştırmayı içermektedir. Integral tünelin dışında alman keyfi bir nokta için, diferansiyel içermenin bu noktadan geçecek ve her za man integral tünelin dışında kalacak en az bir çözümünün bulunabileceği kanıt lanmıştır. Anahtar Kelimeler: Küme Değerli Dönüşüm, Alttan ve ÜsttenYarı Süreklilik, Diferansiyel İçerme, Erişim Kümesi, Integral Tünel.
Oluşum tipi kısmi diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerinin yüksek başarımlı hesaplama açısından incelenmesi
Tezde, oluşum tipi kısmi diferansiyel denklemler için B-Spline kolokasyon metodu, varyasyonel iterasyon, Laplace varyasyonel iterasyon, Adomian ayrışım ve Laplace-Adomian ayrışım metodları ele alındı. Üstel B-Spline kolokasyon metoduyla çözülmüş Gardner denklemi, Laplace-Adomian ayrışım ve Laplace varyasyonel iterasyon metodu ile çözülerek çözümlerin karşılaştırması yapıldı. B-spline kolokasyon metodu uygulandığında elde edilen lineer denklem sistemlerininin çözümü için çeşitli direk ve yinelemeli yöntemler anlatıldı. Elde edilen "AX=B" formundaki lineer denklem sistemlerinde A matrisinin büyük boyutlu ve seyrek matris olduğu durumlarda kullanılan bazı algoritmalar, gerekli olan kütüphaneler, yüksek başarımlı hesaplama sistemleri ve buna paralel olarak büyük boyutlu matrisler için literatürdeki hesaplamalar verildi.
Korteweg-de Vries denkleminin nümerik çözümü
Bu çalışmada, nonlineer dağılan dalgaların çalışma alanında önemli bir yeri olan Korteweg-de Vries denklemini adi diferansiyel denkleme indirgeyecek olan uygun benzedik dönüşümü seçilmiştir. Daha sonra, benzerlik dönüşümü uygulanarak elde edilen adi difeıensiyel denklemin çözümünü yapabilmek için uygun şartlar oluşturulmuştur. Seçilen uygun benzerlik dönüşümü altındaki KdV denkleminin nonlineer adi difeıensiyel denkleme dönüşmesi ve nonlineer denklemlerin tipine uygun analitik çözümü oluşturmanın zorluğu karşısında sonlu farklar tekniği kullanılarak nümerik çözüm yapılmıştır. Bulunan çözümün Marchant ve Smyth'in(1991) sonucuyla uyumlu olduğu bulunmuştur. Anahtar kelimeler; KdV denklemi, sonlu farklar, benzerlik dönüşümü
Birinci mertebeden q-diferansiyel denklemler
Bu tezde, Hilbert uzayında alınan birinci mertebeden sabit ve değişken katsayılı q-diferansiyel denklemlerin homojen ve homojen olmayan kısımlarının çözümleri incelenmiş, daha sonra ise elde edilen bulguların analizde alınan sonuçlarla örtüşüp örtüşmediği araştırılmıştır. Birinci bölümde analiz ve q-analizin kısa bir tarihçesinden bahsedilmiştir. İkinci bölümde diferansiyel denklemler, operatör teorisi ve q-analizin temel kavramları ve sonuçları özetlenmiştir. Üçüncü bölümde ise yukarıda söz edilen problemler incelenmiştir. Ayrıca tezde alınan sonuçlar örneklerle desteklenmiştir.
Lineer olmayan oluşum denklemleri için Riccati denklem metodu
Lineer olmayan diferensiyel denklemler fizik, kimya, biyoloji gibi bir çok alanda kullanılan denklemlerdir.Uygulamalı matematik ise bu denklemlerin çözümleri ve yeni çözüm yolları geliştirmekle ilgilenir.Bu tez çalışması üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde adi ve kısmi türevli denklemler ve sınıflandırılmaları, lineer olmayan oluşum denklemleri ve soliton teorisine fiziksel bir bakış verilmiştir.İkinci bölümde ise; lineer olmayan oluşum denklemlerinin tam çözümlerini bulmak için tanh yöntemi ve Riccati denklem yöntemleri verilerek, bu yöntemlerin bazı uygulamaları yapılmıştır.Üçüncü bölümde ise; son zamanlarda geliştirilen ileri tanh yöntemi verilerek, lineer olmayan oluşum sistemlerine uygulamaları yapılmıştır.
Lineer olmayan oluşum denklemlerinin n -soliton çözümleri
Lineer olmayan denklemler fizik, kimya, biyoloji gibi birçok alanda kullanılan denklemlerdir. Uygulamalı matematik, bu denklemlerin çözümleri ve yeni çözüm yolları geliştirmekle ilgilenir. Bu çalışmada da lineer olmayan diferensiyel denklemlerin tam çözüm yollarından üstel fonksiyon yöntemi ele alınıp bu yöntemin farklı diferansiyel denklemlere uygulamaları yapılmıştır. Daha sonra üstel fonksiyon yöntemi yardımıyla lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerin -soliton, -soliton, -soliton ve bunu daha da geliştirerek -soliton çözümleri bulunmuştur. Tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde kısmi türevli diferansiyel denklemlere ve fark denklemlerine ilişkin bazı tanım ve kavramlar verilmiştir.İkinci bölümde ise üstel fonksiyon yöntemi verilerek farklı KdV denklemlerine uygulamaları yapılmıştır. Daha sonra -soliton çözümler için üstel fonksiyon yöntemi tanımlanarak bu yöntem ile KdV denkleminin -soliton, -soliton, -soliton ve -soliton çözümleri bulunmuştur.Üçüncü bölümde ilk olarak lineer olmayan diferensiyel fark denklemleri için üstel fonksiyon yöntemi tanımlanarak lineer olmayan diferensiyel fark denklemlerinin 1-soliton çözümleri bulunmuştur. Daha sonra ise bu denklemlerin üstel fonksiyon yöntemiyle -soliton çözümleri elde edilmiştir.Son bölümde ise çalışmadan elde edilen sonuç ve öneriler verilmiştir.
Lineer diferansiyel denklem sistemlerinin matris yardımı ile çözümleri
Lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çeşitli çözüm yolları bilinmektedir. Bu tez çalışmasında, bu metodlar dışında, lineer diferansiyel denklem sistemleri matrisler yardımı ile farklı yöntemlerle çözülmüştür. Bu çalışmada matris ile ilgili kısım, bir program dahilinde lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinde kullanılmak üzere ele alınmıştır ve bu mertebede derinleştirilmiştir. Matris ile ilgili kısımda, elemanter dönüşümler, elemanter matrisler, denk matrisler, matrisi kanonik şekle dönüştürme yöntemi, polinom matrisler, denk polinom matrisler ve denk polinom matrisler için elemanter dönüşümler, denk polinom matrislerin kanonik şekli (smith normal form), üstel matris, bir matrisin özdeğer ve özvektörleri, kanonik formlar gibi konular üzerinde durulmuştur.Sabit katsayılı lineer homojen olan diferansiyel denklem sistemleri eleminasyon metodu, determinant (cramer) metodu, özvektörler yöntemi, smith normal form, rasyonel kanonik form, üçgen matris yöntemi ve üstel matris yöntemi ile çözülmüştür. Sabit katsayılı lineer homojen olmayan diferansiyel denklem sistemleri eleminasyon metodu, determinant (cramer) metodu, köşegenleştirme yöntemi, parametrelerin değişimi yöntemi, smith normal form, rasyonel kanonik form, üçgen matris yöntemi ve üstel matris yöntemi ile çözülmüştür. Değişken katsayılı lineer homojen olan diferansiyel denklem sistemleri ve değişken katsayılı lineer homojen olmayan diferansiyel denklem sistemleri de matrisler yardımı ile çözülmüştür. Ayrıca değişken katsayılı lineer homojen olan diferansiyel denklem sistemleri Peano-Baker metodu ile de çözülmüştür.
Diferensiyel denklemlerin diferensiyel dönüşümler yardımıyla çözümü
Bu çalışmada,tek değişkenli ve iki değişkenli fonksiyonların diferensiyel dönüşüm özellikleri ispatları ile verilmiş,lineer ve non-lineer diferensiyel denklemlerin Diferensiyel Dönüşüm Metodu (DDM) yardımıyla çözülmesi ele alınmıştır.Yeni olmakla birlikte bu metot,Taylor serilerine bağlı yarı analitik-nümerik bir metot olup verilen denklemi cebirsel denkleme dönüştürdüğünden kullanımı kolay,anlaşılabilir ve bilgisayar programlamaya uygundur.Elde edilen sonuçlar problemlerin bilinen yöntemlerle bulunan kapalı çözümleri ile karşılaştırılıp çözümün doğruluğu kontrol edilmiştir.
Sınır koşullarında spektral parametre bulunan sınır değer problemleri üzerine
Sınır koşulunda spektral parametre bulunan sınır değer problemleri fizik problemlerinin çözümünde ortaya çıkmış ve günümüze kadar bu tür problemlerin birçok özelliği değişik çalışmalarda incelenmiştir. Bu tezde sınır koşulunda spektral parametre bulunan iki tip problem ele alınmıştır. İlk olarak sınır koşulunda spektral parametre bulunan matris katsayılı ikinci dereceden sınır değer probleminin spektrumu incelenmiş ve özfonksiyonlara göre açılım formülü elde edilmiştir. Bunun yanı sıra bu sınır değer problemi ile tanımlanan kendine eş operatörün bir alt uzayda spektral fonksiyonunun ve rezolventinin matris çekirdekli integral operatörler olduğu gösterilmiştir. İkinci olarak süreksizlik noktasında dönüşüm koşullarına sahip, sınır koşullarında spektral parametre bulunan, geciken argümanlı sürekli olmayan sınır değer problemi incelenmiş, özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının asimptotik ifadeleri bulunmuştur.
A new complex integral transformation and its applications
This thesis consists of seven sections. A literature review, including differential equations and integral transforms, has been discussed in the first section. The second section presents the basic definitions and fundamentals required to build a solid background for the work. The third section includes the basic definition of the proposed "Complex (Emad-Faruk-Ghaith) EFG" integral transform. The applicability of the transform to be utilized in solving ordinary and partial differential equations with practical applications is demonstrated in sections four and five, respectively. In section six, the usage of the complex EFG transform in solving Bessel's functions is represented through practical examples. Finally, section seven presents the discussions and conclusions about the concluded work.
Complex kernel of ZZ integral transform and its applications in ordinary differential equations
This master thesis follows the following construction: In the first section, an introduction to integral transforms with a literature review on numerous transform areas is given. A review of differential equations with their benefits in the scientific world is presented. In the second section, basic definitions and properties that will enrich the work, specifically on the ZZ transform that would be the seed for the entirety of the work are discussed. The third section discusses the basic properties of proposed integral transform (SEA) and its applications to the primary functions. Some of these properties are supported by practical examples for clarification. Finally, the fourth section includes the application of the SEA transformation to miscellaneous subjects from different fields of science.
Complex kernel of rangaig integral transform and its applications in ordinary differential equations
This master thesis is divided into the following sections. The first section contains a review of the literature on differential equations, including their types and classification techniques, and a review of the literature on integral transforms. The second section covers fundamental definitions and attributes that will enrich the work, focusing on the Rangaig and generalized Rangaig transforms, which will serve as the work's seed. The third section analyzes the suggested integral transform (SEL) in detail, including its fundamental features and applications to major functions. Finally, the fourth section discusses the application of the SEL transformation to a variety of different scientific disciplines.
Sınır şartlarında parametre bulunan sturm-liovville tipli diferansiyel denklemin spektral analizi
Bu çalışmada, sınır koşulunda spektral parametre bulunan aşağıdaki özel regüler Sturm-Liouville problemi göz önüne alınmıştır. [a,b]c^? sonlu kapalı bir aralık olmak üzere, L2[a,b] Hilbert uzayında; a ° (P ı = P2, P ', P2 e /?), ve 7\ ise kompleks değerler alan bir parametredir. Gözönüne alınan problemin ; H = Lz[a, b\® C uzayında, kendi kendine eşlenik bir A operatörüyle temsil edilebildiği gösterilmiş ve A operatörünün spektrumunun saf ayrık olduğu ispatlanmıştır. Bunun yardımıyla A ' nın özfonksiyonlarının L2[a, b](B C uzayında tam ortonormal sistem oluşturduğu gösterilmiştir, p 1, p2, P [, P2 parametrelerinin değişimine bağlı olarak yukardaki problemin özdeğerlerinin asimptotik ifadeleri elde edilmiştir. Bir örnek olarak q(x)=0,a = 0, Pı=P2 = 0 özel halinde, (*) diferansiyel denkleminin özfonksiyonlanna göre açılım formülü, ısı denklemi için sınır değer problemine uygulanmıştır.
Yarı eksende üç adi diferansiyel denklemden oluşan sistem için ters saçılma problemi
ÖZET Yarı eksende (x £ O ) _/^lr + 1 c^<*> = *&»&). ^ 2' 3 adi diferansiyel denklemler sistemini gözönüne alalım. Burada c%(x) katsayıları, c«(x) = 0 ve |c#(x)|:£cexp(-6x), k,j= 1, 2, 3, şartlarını sağlayan kompleks değerli fonksiyonlardır. Yukarıdaki denklemler sistemi için verilmiş iki problem birlikte ele alınarak, yan eksende S(X) matris fonksiyonu, bu matris fonksiyonu ve tersinin elemanlarının yardımıyla ise saçılma verileri tanımlanmıştır. Tüm eksende tanımlanmış ve x < 0 olduğunda katsayıların sıfir olması halinde saçılma matrisi ile, saçılma verileri arasında önemli ilişkiler olduğu belirlenmiştir. Çözümün analitik temsilleri kullanılarak, Riemann Probleminin çözülebilirliği şartı dahilinde, verilen denklemler sisteminin katsayılarının, bu verilerin yardımı ile tek türlü tanımlandığı gösterilmiştir.
Stiff (Katı) diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri
ÖZET Bu tezin amacı stiff adi diferansiyel denklemleri çözmek isteyenlere yardım amacını taşımaktadır. İlk önce bazı temel sorulara yanıt vererek, problemin kapsamını ve bu alanda karşılaşılan temel güçlüklerin neler olduğu ortaya koyacağız. Neden çözüm süz (stiff) olarak tanımlanan problemler ile ilgili bir ayrım yapılmasına gerek duyulmuştur? Çözümsüz (stiff) olarak tanımlanan problemler neye benzer? Bunlar nasıl ayırt edilebilir? ikinci olarak, stiff diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerinin ortak özellikleri konusunda bazı saptamalar yapılmasının gerekliliğini ortaya koymaktadır. Bu özelliklerin bilinmesi, sıradan sorunların çözümünde kolaylık etkinlik sağlanması açısından önemli ipuçları sağlayacaktır. Son olarak, bir diferansiyel denklemin sayısal olarak çözümünün ne anlama geldiğini ve stiff diferansiyel denklemler denince ne anlaşılması gerektiği konusu üzerinde durulacaktır.
Deneme denklem yönteminin yeni versiyonlarının incelenmesi
Bu çalışmada, tam çözümlerinin elde edilebilmesine olanak sağlayan deneme denklem yöntemi incelenmiştir. Bu yöntem lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin tam çözümlerinin bulunmasına olanak sağlamaktadır. Bu yöntem daha da geliştirilerek yeni versiyon deneme denklem yöntemi olarak ifade edilmiştir. Geliştirilen bu yöntem; kararsız lineer olmayan Schrödinger denklemi ve KdV (Korteweg-de Vries) denklemlerine uygulanmış ve bu denklemlerin yeni farklı tam çözümleri bulunmuştur. Bulunan bu yeni tam çözümlerin literatürde yer almayan çözümler olduğunu söyleyebiliriz. Ayrıca, bulunan bu yeni tam çözümlerin fiziksel davranışları göstermek için iki ve üç boyutlu grafikleri çizilmiştir.
Kısmi türevli diferansiyel denklemlerin Kudryashov yöntemiyle incelenmesi
Bu tez çalışmasında, tam çözümlerinin bulunmasını sağlayan Kudryashov yöntemi incelenmiştir. Bu yöntem sayesinde lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin tam çözümlerinin elde edilmesi mümkündür. İncelenen bu yöntemin daha da genelleştirilmiş hali olan genelleştirilmiş Kudryashov yöntemi ifade edilmiştir. Genelleştirilen bu yöntem; modifiye edilmiş KdV denklemi ve iki boyutlu KdV-Burger denklemlerine uygulanarak, bu denklemlerin yeni tam çözümleri elde edilmiştir. Elde edilen bu tam çözümlerin literatür incelendiğinde literatürde bulunmayan çözümler olduğunu söyleyebiliriz. İlaveten, elde edilen bu yeni tam çözümlerin iki ve üç boyutlu grafikleri çizilerek fiziksel davranışları gösterilmiştir.
Ağırlık fonksiyonu yaklaşımı ile pertürbasyon metodunun birleştirilmesi ve euler bernoulli hareket denklemlerinin analizi
Bu çalışma, ağırlık fonksiyonu yaklaşımı ile pertürbasyon metodunun birleştirilmesi esasına dayalı yeni bir çözüm tekniği önererek, Euler–Bernoulli kirişlerinin dinamik davranışını analitik ve nümerik açıdan incelemektedir. Tez kapsamında, doğrusal olmayan ve konuma bağlı dinamik sistemlerin çözümünde iki yöntemin birlikte kullanımının sağladığı avantajlar teorik ve uygulamalı olarak değerlendirilmiştir. Çalışma dört ana bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde titreşim hareketine ilişkin temel kavramlar, self-adjointlik ve çözülebilirlik şartları ele alınmış, Galerkin, Petrov–Galerkin, Kolokasyon ve En Küçük Kareler yöntemleri gibi nümerik çözüm yaklaşımlarının teorik temelleri özetlenmiştir. İkinci bölümde, ağırlık fonksiyonlarına dayalı nümerik çözüm yöntemi detaylandırılarak, konuma bağlı dinamik problemlere uygulanabilir genel çözüm prosedürü sunulmuştur. Üçüncü bölümde, geliştirilen genel titreşim modeli pertürbasyon tekniği ile analiz edilmiştir. Sistem parametrelerinin farklı değerleri için çeşitli durumlar ayrı ayrı değerlendirilmiş, seküler terimlerin elimine edilmesiyle fiziksel olarak tutarlı çözümler elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise, eksenel parametrik zorlamaya maruz kalan çoklu yay mesnetli Euler–Bernoulli kirişlerin dinamik davranışı örnek uygulama olarak incelenmiştir. Oluşturulan diferansiyel denklemler boyutsuzlaştırılmış, malzeme ve geometri etkilerinden arındırılmış sonuçlar elde edilmiştir. Çözüm süreçleri Galerkin, Petrov–Galerkin, kolokasyon ve en küçük kareler yöntemleriyle ayrı ayrı gerçekleştirilmiş ve elde edilen doğal frekans değerleri ile işlem süreleri karşılaştırılmıştır.