Kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için Fibonacci sıralama (Collocation) metodu ve residüel hata analizi

Bu tezde kısmi diferansiyel denklemlerin bazı sınıfları için Fibonacci polinomları kullanılarak matris işlemlerine dayalı Fibonacci sıralama metodu geliştirilmiştir. Fibonacci sıralama metodu, Fibonacci polinomlarının matris formları kullanılarak, denklemin her bir teriminin matris bağıntısının bulunmasını temel alır. Bulunan matris bağıntıları ile ele alınan denklem matris denklemine dönüştürülüp sıralama noktaları bu denkleme uygulanır. Temel matris denklemi elementer satır işlemleri kullanılarak satırca indirgenmiş eşelon forma dönüştürülür. Bulunan satırca indirgenmiş matris denkleminin çözülmesi ile Fibonacci polinom çözümü elde edilmiş olur. Fibonacci sıralama metodu, hiperbolik telgraf denklemlerine, bir boyutlu konveksiyon difüzyon probleminin denklemine, bir boyutlu değişken katsayılı kesirli türevli difüzyon denklemlerine ve Helmholtz tipi eliptik sınır değer problemlerine uygulanmıştır. Ayrıca Helmholtz tipi eliptik sınır değer problemlerinin bir alt sınıfı olan Poisson tipi eliptik sınır değer problemine de yöntem uygulanmıştır. Bahsedilen kısmi diferansiyel denklemlerin her biri için residüel hata fonksiyonuna dayalı hata analizi algoritmaları geliştirilerek, elde edilen Fibonacci polinom çözümleri için tahmini hata fonksiyonları bulunmuştur. Bu tahmini hata fonksiyonları ile Fibonacci polinom çözümleri iyileştirilmiştir. Yöntemin doğruluğunu ve etkinliğini ortaya koymak amacıyla her bir denklem tipi için örnekler ele alınmıştır. Bu örnekler için bulunan Fibonacci polinom çözümleri ile ele alınan problemlerin tam çözümleri şekil ve tablolar yardımıyla karşılaştırılmıştır. Ayrıca tahmini hata fonksiyonları ile tam çözümü bilinen problemlerin hata fonksiyonları karşılaştırılarak, algoritmalarının doğruluğu test edilmiştir. Tahmini hata fonksiyonu kullanılarak bulunan iyileştirilmiş çözümler şekiller ve tablolarda karşılaştırmalı olarak sunulmuştur. Ele alınan kısmi diferansiyel denklemlerin çözülmesi ve analizi için sembolik programlama dilleri kullanılmıştır. Fibonacci sıralama metodunun kolay programlanabilen ve hızlı sonuç veren bir sayısal yöntem olduğu sonucuna varılmıştır.