Kübik-kuintik ortamlarda kafes solitonları

Solitonlar; doğrusal olmayan dalga yayılımı, biyolojik sistemler ve doğrusal olmayan optik gibi matematiğin uygulama bulduğu alanlarda ortaya konulan modellerin çözümlerinde elde edilen kararlı yapılar olarak karşımıza çıkarlar. Bulundukları sistemdeki doğrusalsızlığın (nonlineerliğin) ve ayrılmanın (dispersiyonun) dengelenmesiyle oluşan bu dalgalar - solitonlar - ilerlerken kendi yapılarını korurlar ve birbirleriyle olan etkileşimleri elastiktir. Schrödinger denklemi, dalga-parçacık ikiliği gibi kuantum etkilerinin geçerli olduğu, atom ve atom altı parçacıklardan oluşan kuantum sistemlerdeki fiziksel sistemin zamana bağlı değişimini tarif eden bir matematiksel denklemdir. İsmini denklemi ortaya koymuş olan ve bu alandaki çalışmalarından ötürü Nobel Fizik Ödülü'ne layık görülen Erwin Schrödinger'den alan bu diferansiyel denklem, klasik mekanikteki Newton'un İkinci Yasası'nın kuantum mekaniğindeki karşılığı olarak düşünülebilir. Doğrusal olmayan Schrödinger (NLS) denklemi ise, Schrödinger denkleminin teorik fizikteki doğrusal olmayan çeşididir ve optik kablolarda veya dalga kılavuzlarında ışığın yayılması gibi doğrusal olmayan, ayırgan (dispersif) ortamlarda yavaşça değişim gösteren tek renkli (monokromatik) dalgaların ilerlemesini betimleyen evrensel bir denklemdir. Hem üçüncü dereceden (kübik) hem de beşinci dereceden (kuintik) doğrusal olmayan terim içeren Schrödinger (CQNLS) denklemi, birçok fiziksel durumu betimler ve özellikle de optikte karşımıza çıkar. Doğrusal olmayan optikte CQNLS denklemi, elektromanyetik dalganın ışık kıran (fotorefraktif) maddelerde yayılımını betimler. Kübik-kuintik doğrusalsızlığın nedeni madde içindeki öz rezonanstır. İki boyutlu kübik NLS denkleminin soliton tipi çözümlerinin patladığı yani çözümün genliğinin, sonlu zamanda ya da mesafede sınırsızca büyümeye başladığı bilinmektedir. Fiziksel problemlerin çözümünde en temel sorunlardan biri çözümlerin kararlılığıdır. Optik problemlerinde bu, veri iletiminin uzun mesafelere sağlıklı olarak yapılabilmesi bağlamında önem taşır. Son on yılda literatürde, iki boyutlu NLS denkleminin çözümlerinin patlamasını engelleyecek yöntemler tartışılmaktadır. Gösterilmiştir ki, NLS denklemine eklenen bir potansiyel terimi, ki bu fiziksel ortamda düzeneğe eklenecek olan bir kafes (latis) ile karşılamaktadır, belli parametreler rejiminde dalga tipi çözümün kararlı hale gelmesini mümkün kılmaktadır. Bunun yanı sıra, sisteme eklenen potansiyel, dalganın biçiminde, genliğinde ve iletim süresinde değişiklikler yapabilmektedir. Dolayısıyla, fiziksel sistem düzeneğinde çeşitli yollarla oluşturulabilen kafeslerin optik problemlerinin çözümünde ve çözümlerin kararlılığı ve yapısının ayarlanması bağlamında önemli uygulama alanları vardır. Her ne kadar tek boyutlu NLS denkleminin çözümleri kararlı olsa da tek boyutlu çözümlerin yapısı ve özellikleri de iki boyutta olduğu gibi, sisteme eklenecek olan kafesler ile ayarlanabilir. Bu kafesler laboratuvar ortamında lazer ışınlarının birbiriyle etkileştirilmesi veya düzeneğe eklenecek olan kristal ya da yarı kristaller ile oluşturulmaktadır. Bu tezde, kübik-kuintik doğrusalsızlık barındıran ortamlarda temel kafes solitonların varlığı ve özellikleri incelenmiştir. Bu amaçla ele alınan fiziksel model, aşağıdaki CQNLS denklemidir: i u_z + Delta u + alpha |u|^2 u + beta |u|^4 u + V u = 0 . Burada u karmaşık değerli fonksiyonu, x (veya xy) düzleminde olup z ekseni boyunca yayılan alanın yavaşça değişen genliğine, Delta u kırınıma, V ise dış potansiyele (yani kafese) karşılık gelmektedir. alpha ve beta sırasıyla kübik ve kuintik doğrusalsızlık katsayılarıdır ve bunların pozitif olması odaklanmaya, negatif olması ise odaktan sapmaya karşılık gelmektedir. Tezde ilk olarak, gerekli fiziksel altyapı oluşturulup Maxwell denklemlerinden yola çıkılarak kullanılacak esas denklem olan CQNLS denklemi türetilmiştir. Ardından temelini kuantum mekaniğinden alan parite-zaman (PT) simetrisi kavramı açıklanmıştır. Kuantum mekaniğinde bir sistemin toplam enerjisi Hamiltonyen operatörüyle ifade edilebilir. Hermisyen olmadıkları halde, PT simetrisine sahip bazı Hamiltonyenlerin de tüm özdeğerlerinin gerçel olabildiği gösterilmiştir. Bu açıdan, PT simetrisi son zamanlardaki araştırmalarda sıkça yer almaktadır. Tezde, N=4'e karşı gelen V_N(x,y)= ... 2 boyutlu periyodik potansiyel, V_PT(x)= ... ile tanımlanan PT simetrisine sahip 1 boyutlu potansiyel ve V_PT(x,y)= ... ile tanımlanan PT simetrisine sahip 2 boyutlu potansiyel ele alınmıştır. Burada V_i (i=0,1,2) ve W_0 katsayıları potansiyellerin sırasıyla gerçel ve karmaşık kısımlarının derinliklerini temsil etmektedir. Son potansiyelin özel (kasıtlı) olarak bu şekilde seçilmesiyle; tek başına integre edilebilir olmayan (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin, bu potansiyel altında analitik çözümleri elde edilebilmiştir. Ayrıca yapılan çalışmada, doğada kristallerin yukarıdaki matematik modellemenin aksine tam simetrik olmadıklarından, yani atomik boyutta da olsa bazı kusurlar içerebileceklerinden, kafes yapısındaki bu kusurları modelleyen bir yapı da kullanılmıştır. Analitik çözüm elde edilemeyen durumlarda, tez kapsamında geliştirilmiş olan 'Spektral Yeniden Normalleştirme' ve 'Sözde Spektral Yeniden Normalleştirme' yöntemleri kullanılarak sayısal çözümler aranmıştır. Temelde bir Fourier yinelemesi olan bu yöntemlerde, çözümler u = f e^(i mu z) dönüşümü sonrası Fourier uzayında gerçekleştirilen bir özyinelemenin yakınsamasıyla elde edilmektedir. Tezde sırasıyla potansiyelsiz (1+1) boyutlu CQNLS denkleminin mu > 0 yayılma sabiti olmak üzere u(x,z)= ... yapısındaki, PT simetrisine sahip potansiyelli (1+1) boyutlu CQNLS denkleminin u(x,z)= ... yapısındaki ve PT simetrisine sahip potansiyelli (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin u(x,y,z)= ... yapısındaki analitik çözümleri elde edilmiştir. Öte yandan potansiyelsiz (1+1) boyutlu CQNLS denkleminin, PT simetrisine sahip potansiyelli (1+1) boyutlu CQNLS denkleminin, potansiyelsiz (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin, periyodik potansiyelli (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin, PT simetrisine sahip potansiyelli (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin, PT simetrisine sahip ancak kusur içeren potansiyelli (2+1) boyutlu CQNLS denkleminin ve son olarak da PT simetrisine sahip ancak kusur içeren potansiyelli (2+1) boyutlu kübik doyurulabilir NLS denkleminin çözümleri yukarıda bahsedilen sayısal yöntemlerle elde edilmiştir. Elde edilen sayısal çözümlerle analitik çözümlerin uyum sağladığı görülmüştür. Sonrasında, elde edilen solitonların kararlılıkları incelenmiştir. Doğrusal kararlılık için, probleme karşılık gelen doğrusallaştırılmış operatörün özdeğerlerinin incelendiği doğrusal spektrum analizi ve küçük bir sarsım (pertürbasyon) ile birlikte çözümün doğrusallaştırılıp ilerletilmesinin incelendiği doğrusal evrim analizi yapılmıştır. Doğrusal olmayan kararlılık için ise küçük bir sarsım ile birlikte çözümün ilerletilmesinin incelendiği doğrusal olmayan evrim analizi yapılmıştır. Her iki evrim analizi için de parçalı-adımlı (split-step) Fourier yöntemi geliştirilip kullanılmıştır. Bazı durumlarda ise elde edilen solitonların güçleri (enerjileri) hesaplanıp bunların değişiminden yola çıkılarak kararlılık hakkında yorumlar yapılmıştır.