Lie cebiri ve bazı geodezik özellikler

Geodezi, Yunanca asıllı bir kelimedir. Geo=yer, dünya; dezi=bölmek, ölçmek anlamına gelir. Geodezi, yeryüzünün ölçülmesi ve projeksiyonu bilimidir. Dolayısıyla; Geodezi, dünyanın bütününün veya büyük kısımlarının nasıl ölçüleceğini ve bu ölçülerin, matematiksel esaslara göre kıymetlendirilerek, büyüklüğü, şekli, boyutları ve çekim alanı hakkında nasıl bilgi edinileceğini öğretir. Ayrıca yeryüzü noktalarının bir yüzey üzerine izdüşümü problemini inceler. Reel sayılarda bazı grup ve cebir ile ilgili Tanımlardan yola çıkarak Lie grupları ve Lie cebiri Tanımlanmaya çalıştım. Daha sonra bazı Geodezik özelliklerden bahsedip bu Geodezi'yi önce matematiksel olarak incelemeye çalıştım. Daha sonra da bunların uzay geometrisine uyarlanmalarıyla ilgili çalışmalar yapmaya çalıştım. Örneğin; dönel elipsoide uygulayarak bunu Euler formülüyle ilişkilendirdim. Öte yandan Frenet üçyüzlüsü yardımıyla yüzeyler üzerinde teğet, normal birim vektörler Tanımlayıp bunlara göre eğrilik ve eğrilik yarıçapları elde ettim. Bütün bu çalışmalarımın sebebi Geodezi eğrisini ve denklemini elde etmek içindi. Dolayısıyla; bu çalışmaların da yardımıyla uzayda herhangi bir yüzey üzerinde bir eğrinin eğriliğini ve bunun denklemini elde etmeye çalıştım. Nitekim bunu dünya elipsoidine uyarladığımda da Geodezik eğrilik adı altında Geodezik denklemleri elde etmiş oldum. Daha sonra bu Geodezik eğriliği de kullanarak Geodezik burulmayı ve bunun denklemini elde ettim. Sonuç olarak; uzayda bir yüzeyde herhangi iki nokta arasında en kısa eğrinin Geodezi eğrisi olduğu çıkarımına ulaştım. Böylece; bu çalışmada daha önce yapılan çalışmaları da göz önünde bulundurup farklı Lie grupları ve Lie cebirleriyle alakalı Tanımları ve denklemleri bulup Geodezik eğrilik, Geodezik denklem ile Geodezik burulmayı elde etmeye çalıştım.