Simetrik grupların temsil teorisi

Polinomlar matematiğin en eski konularındandır. Bir temel halkaya ve sonlu sayıda değişkene göre tanımlanan polinomlar, bu değişkenlerin ve temel halkanın elemanlarının sonlu sayıda toplamları ve çarpımları kullanılarak elde edilir. Simetri matematiğin temel kavramlarındandır. Simetrinin odak noktası bir grup etkisi altında değişmeden kalan yapıları anlamaktır. Simetrik grup, polinom halkası üzerinde değişkenler üzerinde permütasyonlarla etki eder. Simetrik grubun permütasyon etkisi altında değişmeyen polinomlarına simetrik polinomlar denir. İki simetrik polinomun toplamı ve çarpımı yine simetrik polinom olduğu için, simetrik polinomlar polinom halkasının bir alt-halkasını oluşturur. Catalan sayıları matematikte birçok alanda karşımıza çıkan bir pozitif sayılar dizisidir. Catalan sayıları, ilk bakışta birbirleriyle ilgili olmayan pek çok kombinatorik kümeyi sayar. Bu tez çalışması iki konuya ayrılmıştır. İlk konu, herhangi bir $\mu$ parçalanışı ve $n$ tamsayısı için herhangi bir Jack polinomu $J_\mu$ ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonu $p_n$ çarpımının yine Jack polinomlarına göre açılmasından gelen genişletilmiş katsayıları hesaplayan algoritmanın sağlanması üzerinedir. İkinci konuda ise K. Aker ve M. B. Can'ın 2012 yılında yayınlanan makalelerinde yer alan bir iddia ispatlanmıştır. Bu iddia eleman sayıları Catalan sayıları olan iki küme arasında birebir ve örten yeni bir eşlemenin varlığı üzerinedir. Simetrik polinomlar matematikte hemen her yerde karşımıza çıkar. Örneğin, bir polinomun katsayıları, polinomun köklerine göre simetrik polinomlardır. Bu simetrik polinomlara temel simetrik polinomlar denir; $e_n$ ile gösterilir. Derecesi aynı olan bütün tek terimlilerinin toplamı $h_n$ ile gösterilen tam simetrik polinomları üretir. $n$-ninci kuvvetten değişkenlerin toplamları, $p_n$ ile gösterilen kuvvet toplamı simetrik polinomları üretir. Simetrik hale getirilmiş tek terimliler, $\lambda$ herhangi bir parçalanış olmak üzere $m_\lambda$ ile gösterilen tek terimli simetrik polinomları üretir. Tek terimli simetrik polinomlar $m_\lambda$ simetrik fonksiyonlar halkasının bir bazıdır. Temel, tam ve kuvvet toplamı simetrik polinomlarının tanımlarının uygun olarak genişletilmesi ile bu polinomlar da simetrik polinomların birer bazını oluştururlar. Bu dört baza ilave olarak Schur polinomları aslen iki determinantın bölümü olarak tanımlanan simetrik fonksiyonlar halkasının beşinci bazını oluşturur. Simetrik fonksiyonlar uzayının doğrusal yapısı ile ilgili sorular bu önemli bazların kombinatorik olarak inşaasının temel noktalarıdır. Diğer bir odak noktası bu bazların oluşturduğu matrislerin değişimidir yani bu bazlar arasındaki geçiş matrislerini tarif etmektir. Baz matrislerinin değişimi kombinatoriğin doğası gereği zengin bilgiler içermektedir. Simetrik polinomlar ile uğraşırken rastgele özdeşliklerden kaçınmak ve yapıyı açıklamak için sonsuz sayıda belirsizler ile çalışmak daha uygundur. Modern cebir diliyle simetrik fonksiyon, simetrik fonksiyon halkasının bir elemanıdır. Simetrik fonksiyon halkası ise belirsizlerinin sayısı sonsuza giden simetrik polinom halkalarının projektif limiti olarak tanımlanır. Alternatif olarak simetrik fonksiyon, belirsizlerinin sayısının değişebildiği yerde sonlu sayıda belirsizlere sahip olan simetrik polinom olarak düşünülebilir. Bu açıdan bakıldığında önemli olan, simetrik fonksiyonlar arasındaki herhangi bir özdeşliğin belirsizlerin sayısı değiştikçe de geçerli olmasıdır. Polinomların çarpımı oldukça kolaydır; iki tek terimlinin çarpımı yine bir tek terimlidir, karşılık gelen kuvvetlerin toplanması ile bulunur. Simetrik fonksiyonlar halkasındaki çarpım nasıl olmalıdır? Simetrik fonksiyonlar halkası için yapı sabitleri nelerdir? Bu problemin çözümü ya ilgi çekici olmayacak kadar basit ya da hayli zordur. Temel simetrik fonksiyonlar, tam simetrik fonksiyonlar, kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları için iki tek terimlinin çarpımı benzer şekilde açıktır. Tek terimli simetrik polinomlar için yapı sabitleri, 2001 yılında M.J. Carvalho ve S. D'Agostino tarafında çözülmüştür. Schur polinomlarının çarpımı, Littlewood-Richardson kuralı, D. E. Littlewood ve A. R. Richardson tarafından 1934 yılında formüle edildi. Hatasız ispatların ortaya çıkması 40 yıl aldı. Farklı tabanlardaki elemanların çarpımı nasıl olmalıdır? Schur fonksiyonlarının diğer baz elemanları ile çarpımının yine Schur tabanında nasıl açılır? Schur fonksiyonunun tam simetrik fonksiyon ile çarpılması Pieri kuralı ile hesaplanır. Schur fonksiyonunun kuvvet toplamı simetrik fonksiyonu ile çarpılması Murnaghan-Nakayama kuralı ile hesaplanır. Bu kural aslında simetrik grubun indirgenemez karakterlerinin değerlerini hesaplar. Yirminci yüzyılda matematikte Hall polinomları, Zonal polinomlar, Jack polinomları, Macdonald polinomları gibi çeşitli başka simetrik fonksiyonlar ortaya çıktı. Bunlar bazı grupların etkisine göre değişmez polinomlar olarak ortaya çıktılar. Örneğin, ilk olarak Zonal polinomlar ortogonal gruplar ile ilgili ortaya çıkan ortogonal fonksiyonlardır. Macdonald polinomları gibi, simetrik foksiyonlar Schur fonksiyonlarının genişlemeleri olarak görülebilirler. Schur fonksiyonları, tek terimli fonksiyonlara göre açıldığında üçgensel matrislere sahiptirler. Schur fonksiyonları birbirine göre ortonormaldir. Bir normalizasyon seçilince, bu özellikler Schur fonksiyonlarını tümüyle belirler. Yukarıda bahsi geçen Macdonald polinomları gibi fonksiyonlar, simetrik fonksiyon halkasının taban halkasının ve simetrik fonksiyonlar üzerindeki iç çarpımın genişletilmesi suretiyle tanımlanabilirler. I. G. Macdonald'ın kitabında izlenen yaklaşım budur. Simetrik fonksiyon halkası içerisindeki çarpımlara geri dönersek, Schur fonksiyonlarının tam simetrik fonksiyonlar, birbirleri ve kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları ile çarpımları kısaca şöyledir: $n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, Pieri kuralı; $n$ nin herhangi bir $\mu$ parçalanışı için keyfi bir Schur fonksiyonu ile $n$-ninci tam simetrik fonksiyonun çarpımının yine Schur fonksiyonları cinsinden tarif edilmesidir. Yada başka bir deyişle; Schur fonksiyonları için Pieri kuralı; $n$ ninci tam simetrik fonksiyon, $(n)$ parçalanışlı Schur fonksiyonuna eşit olduğundan, birbirleri cinsinden yazılabildiğinden, $n$ nin herhangi bir $\mu$ parçalanışı için keyfi bir Schur fonksiyonu ile $(n)$ parçalanışlı Schur fonksiyonunun çarpımının yine Schur fonksiyonları cinsinden ifade edilmesidir. Littlewood-Richardson kuralı; $n$ nin herhangi iki farklı parçalanışı için keyfi iki Schur fonksiyonun çarpımının yine Schur fonksiyonları cinsinden yazılmasıdır. Murnaghan-Nakayama kuralı; $n$ nin herhangi bir parçalanışı için keyfi bir Schur fonksiyonu ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonunun çarpımının Schur fonksiyonları cinsinden tarifidir ki bu yapı bize simetrik grupların indirgenemez karakterlerinin değerlerinin hesabı için rekürsif bir işlem tanımlar. Bu çarpımlardan yola çıkarak çalıştığımız ilk problemimiz, simetrik fonksiyonlar \linebreak uzayının diğer bir önemli bazı olan Jack simetrik fonksiyonları için Murnaghan-Nakayama kuralını araştırmaktır. Yani $n$ pozitif bir tamsayı olmak üzere $n$ nin herhangi bir parçalanışı için keyfi bir Jack simetrik fonksiyonu ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonunun çarpımı, Jack simetrik fonksiyonları cinsinden ifade edildiğinde katsayıların nasıl hesaplanacağı ve ispatın nasıl yapılacağı sorusu ile ilgilidir Jack simetrik fonksiyonları ilk olarak istatistikçi Henry Jack tarafından 1969 yılında tanımlandı. Jack simetrik polinomları, taban halkasının bir $\alpha$ parametresi ve simetrik polinomlar üzerindeki iç çarpımın uygun bir şekilde genişletilmesiyle, Schur fonksiyonlarına benzer şekilde tanımlanır. Jack, $\alpha=1$ durumunda bu polinomların, Schur fonksiyonlarına indirgeneceğini gösterdi. Ayrıca $\alpha=2$ durumunda yine Jack fonksiyonlarının zonal polinomları verdiği çıkarımında bulundu. 1974 yılında H. O. Foulkes, Jack simetrik fonksiyonlarının kombinatoryel yorumu ile ilgili sorular ile ilgilendi. 1987 yılında I. G. Macdonald ise Jack fonksiyonlarının özelliklerini, başlangıç noktasını 1977 yılında Sekiguchi'nin çalıştığı diferansiyel operatörleri alarak araştırdı, bir dizi önemli eşitliklerin varlığını gösterdi. 1989 yılında ise R. P. Stanley bu konuyu oldukça geliştirdi: Jack simetrik fonksiyonları için Pieri kuralını oluşturdu ve ispatladı. Stanley, ek olarak, Jack simetrik fonksiyonları için Littlewood-Richardson kuralı hakkında birtakım çıkarımlarda bulundu. İlk problemimizde öncelikle R. P. Stanley'in bulduğu Jack simetrik fonksiyonlar için Pieri kuralı ve $n$-ninci Jack simetrik fonksiyonları ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları arasındaki ilişki göz önünde bulundurulmuştur. Ayrıca 2004 yılında R. Sakamoto, J. Shiraishi, D. Arnaudon, L. Frappat ve E. Ragoucy'nin yazmış olduğu bir makalede bulunan herhangi bir Jack simetrik fonksiyonu ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları çarpımının algoritması üzerinde çalışılmıştır. Bu algoritmayı kullanarak adım adım herhangi bir Jack simetrik fonksiyonu ile $n$-ninci kuvvet toplamı simetrik fonksiyonları çarpımı, Jack simetrik fonksiyonları cinsinden ifade edildiğinde katsayıların neler olduğu, nasıl hesaplanacağı araştırılmıştır. Ayrıca adım adım bu çarpımların ispatları, Jack simetrik fonksiyonları için Pieri kuralı ve Jack simetrik fonksiyonların özellikleri kullanılarak araştırılmıştır. İkinci problemimizde özellikle kombinatorik matematikte çok önemli bir yeri olan 1838 yılında Eug\`{e}ne Charles Catalan tarafından bulunan Catalan sayıları üzerinde çalışılmıştır. Özel bir pozitif sayı dizisi olan Catalan sayılarının $n$-ninci terimi $n\geq 0$ için $C_n=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ formülü ile bulunur. Bu problemde, K. Aker ve M. B. Can'ın 2012 yılında basılmış olan makalelerinde bulunan bir iddia ispatlanmıştır. Bu iddia, eleman sayıları Catalan sayıları olan iki kümenin üreten fonksiyonlarının eşitliği hakkındadır. Bu iddianın ispatı, üreten fonksiyonlar eşitliği, iki küme arasındaki birebir ve örten kombinatoryel bir eşleme kurularak yapılmıştır.